背徳的なものまね鳥 - 言語ゲーム
舞台 ある背徳的な森に、交尾好きの鳥たちが棲んでおりました。鳥たちは昼も夜も男も女も無く交尾に励んでおりました。あまりにも酷いので神は掟を定められました。 左に女、右に男が並ぶべし。 どんな種類の鳥同志であっても選り好み無く隣人と必ず交尾すべし。 交尾の後に子を産み、親は死ぬべし。 種類と男女の組み合わせにより、決まった種と数の子を生むべし。 神は掟を守らせるために、どの組み合わせでどの鳥が生まれるのかを覚えていられるように手帳に書いておく方法を決められました。つまり、それはこんなイコールで結ばれた式です。 交尾のルール: 女 男 = 子 例えば、ニワトリ ペリカン = 鴨、と書くと、ニワトリの女とペリカンの男が交尾すると鴨が生まれるという具合です。ただ、男女の組み合わせを逆にして、ペリカンの女とニワトリの男にすると、鴨とはまた違った子が生まれるかも知れないので注意してください。 神によっ
ゲーデルの不完全性定理の一般的な証明(改訂版) - 数学猫の生活と意見
http://d.hatena.ne.jp/yoriyuki/20060211/p1の書き直し版。2/24追記：φ≡¬Thm(『φ』)ではなく、φ⇔¬Thm(『φ』)であったので、関連する部分を修正しました。まず「言語」と「理論」の概念を導入します。 D:議論の対象の集合です。 V:変数記号の集合です。 F_n:n引数関数記号の集合です。 N:Dの元を表示するための名詞の集合です。 P_n:n項述語記号の集合です。 S:文の集合です。これらは次の条件を満たしていると仮定します。 VはNに含まれます。 f∈F_n、t_1, ..., t_n∈Nならばf(t_1, ..., t_n)∈N p∈P_n、t_1, ..., t_n∈Nならばp(t_1, ..., t_n)∈S S上に関数→が定義されていて、A,B∈SならばA→B∈S Sに矛盾命題⊥が含まれるとします。¬AをA→⊥の略記とします。D
半加算器とは何か？ - 言語ゲーム
この日記に制作過程をアップしてる半加算器について書きます。 コンピュータが二進法で動いている！という話はみんなも聞いた事があると思います。私たちが普段計算する時は十進法というのを使います。数字が 0 から 9 まであって、9 に 1 を足すと桁が繰り上がって 10 になるという物です。これが二進法だと、数字が 0 と 1 しか無くて、1 に 1 を足すと桁が繰り上がって 10 になります。すこし十進法と二進法の数字を並べるとこんな感じです。 十進法 二進法 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 めまぐるしく繰り上がりが起こるので忙しいけど、電気で計算するには二進法の方が都合が良いので、コンピュータは二進法を使って計算します。この二進法の足し算の基本となる、一桁の足し算だけをする仕組みを半加算器と呼びます(たまーに二進法以外でも半加算器という言葉を使うらしいです)。具体的に半加算器
数学は言葉 - hiroyukikojima’s blog
一般の人が、数学を本を読んで理解しようとするとき、二つの障壁を乗り越えねばならない。一つは、語られている概念が抽象的であること、そしてもう一つは、それを語っている「言葉」が数式というこれまた「読みにくい言語」だ、ということだ。書き手が後者を突破する道は二者択一である。第一の道は、数式を使わず、極力日常の言語で表現すること。第二の道は、あえて「数式言語の読み方をレクチャーする」ことである。でも、第二の道を選択する書き手はほぼ皆無である。なぜなら、相当しんどい作業になる上、それだけの努力が本の売り上げに貢献するとは考えられないからだ。かくいうぼくも、第二の道を試みたことは一回しかない。それは『文系のための数学教室』講談社現代新書で、「ルベーグ積分」を題材に、積分記号の読解の作法を伝授した部分だ。そこでのメッセージは、「数式には独特の読解の仕方がある。記号を記号のまま受け入れようとせずに、自分の
「完全性／不完全性」は多重定義のし過ぎ！ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
「極大（無矛盾）セオリー」で極大セオリーを紹介したが、極大セオリーTの性質「f∈T か ¬f∈T のどちらか一方が必ず成り立つ」は、完全性と呼ぶことがある。ところが、“完全”という言葉は似て非なる意味で使われていて非常によろしくない（邪悪なオーバーロード！）。 まず、意味論的（モデル論的）完全性と構文論的（証明論的）完全性がある。意味論的完全性には弱い完全性と強い完全性がある。結局、次の3つの意味を文脈で使い分ける： 弱い意味論的完全性 強い意味論的完全性 構文論的完全性 論理式の全体をLとして（それに証明系が付いているとして）、証明可能な論理式の全体をP（provableから）、真（モデル論的に妥当）な論理式の全体をV（validから）とする。“弱い意味論的完全性”は、V⊆P のこと、つまり、「真なる命題は証明できる」と言っている。その逆 P⊆V は健全性で、「証明できる命題は真」のこと
意味と意義について
相等性（1）は、それに結びついたそう簡単には答えられない問いによって、熟考を招き寄せる。それは何らかの関係なのか？ 対象間の関係なのか、それとも対象の名称ないしは記号の間の？ 私の概念記法においては、このうちの最後だと私は考えた。それを支持するように見える根拠というのは次の通りだ。a = a と a = b は明らかに相異なる認識価値〔Erkenntniswert〕をもつ文だ。a = a はアプリオリに成り立ち、カントによれば分析的と呼ばれ得る一方、a = b という形式の文は、しばしば我々の認識の非常に有益な拡張を伴い、アプリオリにいつでも根拠づけられ得る訳ではないのだから。毎朝ひとつづつ新しい太陽が昇るのではなく、いつも同じだということは、天文学における最も豊饒な発見のひとつだったのであり、今日においても、小惑星や彗星の再認はいつでも自明のことという訳ではない。ところが、相等性を名称「
檜山正幸のキマイラ飼育記 - 論理を身に付けるには
論理（学）の話を少し。ここでいう論理（ロジック）は、記号論理学、形式的論理学、数学的論理学などと呼ばれる分野のことです。この意味での論理を学んだからといって、通常の（世間的な）意味での“論理的な人”になれることはまったく保証できません。 こころがまえ五箇条 さて、記号論理学を受け入れる気持ちになるには、とりあえず、次のようなことを心にとめるべきかと。 無意味な記号の無意味な操作を認める。 しかし、記号と操作に意味を与えられることも認める。 記号／操作の意味付与（解釈）には、なんらかの“世界”が必要なことを知る。 （現実の、または架空の）とある“世界”で、なにごとかが“正しい”かどうかの判断（judgement）ができると信じる。 意味・解釈を根拠とした記号操作も、意味を剥＜は＞ぎ取って「無意味な記号の無意味な操作」だとみなせることを知る。 機械的な記号操作 無意味な記号の無意味な操作は味気
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ƻ���ٻʡ�2003.09������Ū�ͤȤϲ�������ΰ����ض��������, 63, 141-153. ���ܹƤǤϡ�����ؤˤ���������(Ū)�ΰ�̣�θ�Ƥ�����ȯ�������Ū�ˤ����Ѳ�ǽ������(Ū)�Υ��������Ƥ���줿�������ְ���ƻ�ס��ɱ��ϡפ���뤳�Ȥ�ͭ�ѤǤ��뤳�Ȥ������줿���ޤ�������Ū�ͤ���������Ȥ�����ɸ���ä���ȽŪ�ͤǤ��뤳�Ȥ������줿���Ǹ�ˡ�������Լ�����䡤���ˤ���¾�Ԥ����꤬��Ƥ���졤������ǰƬ�ˤ����ơ�����Ū�ˤʤ뤿���������������줿�� �����Ϥ���� ���ܹƤ���Ū�ϡ�������Ū�Ǥ���ȤϤɤ��������Ȥ��פ������Ū�ͤȤϲ����פȤ
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