QRQRQR の長さを三角形 ABCABCABC の情報(角度,長さ)で表したときに,A,B,CA, B, CA,B,C に関して対称であることを示せれば PQ=QR=RPPQ=QR=RPPQ=QR=RP が言えます。そこで,三角形 ARQARQARQ に余弦定理を使いたくなります。そのためには,AR,AQAR,AQAR,AQ を三角形 ABCABCABC の情報で表す必要があるので,三角形 ARBARBARB に注目します。 また,辺の情報と角度の情報が混在していると複雑になるので,辺の情報は正弦定理で角度の情報に変換します。(外接円の半径 RRR は A,B,CA, B, CA,B,C に関して対称なので扱いやすいです) ARARAR の形を見て三倍角の公式の発展形(因数分解した形)がひらめくとよいです(→三倍角の公式:基礎からおもしろい発展形まで)。ここがこの証明一番の難所です。 三