「すいません」と「すみません」どちらが正しい？

どちらも日本語として正しいです。 ただし、「すみません」が、いわば“本家”であり、 「すいません」は“分家”（口語的に訛ったもの）です。 詳しく語源を知っているわけではないですが、日常の挨拶言葉というのは、大概、何か元々の文章を略した言い方です。 おそらく、元々は、 「（謝るぐらいでは）済みません。」 か 「（ただでは）済みません。」 なのでしょう。 ちなみに、私が確かな語源を知っている挨拶言葉の例は、 「さようなら」←「然様ならお別れいたしましょう」 （要するに、「では」とか「じゃー」とかと意味は同じ。） 「こんにちは」←「今日は御機嫌如何でございますか」 あと、略とは言えないかもしれませんが、 「ありがとうございます」←「（そのようなことをしてくださるというのは）有り難うございます。」（＝なかなか無いことです） また、 すみません → すいません のように、口語的に訛った言い方は、例を