特性方程式とは。より難しい漸化式の解き方【特殊解型】｜アタリマエ！

まず、おさえておきたいのが \(a_{n+1}=pa_n+q\) \((p≠1,q≠0)\) の形の漸化式。 等差数列・等比数列・階差数列型のどのパターンにも当てはまらないので、コツを知らないと苦戦する漸化式です。 たとえば、\(a_1=2\) , \(a_{n+1}=3a_n-2\) という漸化式の場合。 数列にすると \(2,4,10,28\cdots\) という並びになり、一般項を求めるのは難しそうですよね。 しかし、この数列の各項から \(1\) を引くとどうでしょう？ \(1,3,9,27,\cdots\) で、初項 \(1\) , 公比 \(3\) の等比数列になっていることが分かりますよね。 等比数列にさえなってしまえばこちらのもの。 等比数列の一般項の公式に当てはめることで、ラクに一般項を求めることができます。 一般項が \(a_n=3^{n-1}+1\) と求まりましたね