確率の期待値から掴むルベーグ積分 - どすえのブログ

論文を読んでいると測度とルベーグ積分というものに出会った。これを機に、入門してみることにした。個人的には、馴染み深い「確率の期待値」を測度・ルベーグ積分の視点から捉え直すと、理解がスムーズだった。 個人的な理解をメモとして残す。 本記事の結論は、期待値とは確率変数のルベーグ積分である。 以下、ルベーグ積分、確率変数、期待値について順を追って見ていく。 測度とルベーグ積分 ルベーグ積分のアイデアを掴むために、実数の閉区間上で定義された連続関数を例にとる。 リーマン積分では関数で決まる曲線とx軸との間に挟まれた図形の「面積」がもとまる。ルベーグ積分についてもそれは同じである。 リーマン積分では図1のように関数を短冊上に等分に縦切りし、各長方形の面積を足し合わせて全体の面積を近似する。 図1：リーマン積分 一方、ルベーグ積分では、図2のように値域の方を横切りで分割する。 図2：値域の分割 すると