微分「dx」の正体（1） ー 「dy=f'(x)dx」という式は一体なんなのか？｜加藤文元

有料マガジン「加藤文元の「数学する精神」」では、新しく連載「微分「dx」の正体」を始めようと思う。第1回目の今回は、この連載の問題設定や動機について説明しよう。（初回は無料で誰でも読めます。） §1. 微分積分学における不思議な約束事微分積分学を学んだことのある人なら、誰でも一度は以下のようなことを読んだり聞いたりしたことがあるだろう。 関数 $${y = f(x)}$$ の導関数は、極限を用いて $$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$ と定義される。これは極限値なのであって、分数ではない。すなわち、$${dy}$$ と $${dx}$$ というなんらかの「量」がそれぞれ独立に存在して、その「比」をとっているのではない。ライプニッツの記法 $${\dfrac{dy}{dx}}$$ は

[hobou]

文系40歳が4ヶ月前から線形代数はじめて先月から微分積分はじめて、いま意味がわかる！！て感動してる🥺

[asahiko]

これからこういう話を始めますよという連載物のイントロに「読む価値なかった」と言っている人はいったい

[outalaw]

普通は代数的に扱えるんならそれでいいやで扱ってしまっているが代数的に扱えない場合があるなら知りたい（微分不可の場合とか除く）

[prostaglandin]

普通の理系はそこまで考えない。さすが数学科。

[andonut146]

そうか、文系に進むと18歳でこういった記号からサヨナラなんだな。

[suka6411144]

1+1/4+1/9+…=π^2/6とかみると極限は人類には難しすぎると思う

[hoxo_m]

高瀬正仁『ｄｘとｄｙの解析学』に書いてあるよ。https://www.kinokuniya.co.jp/f/dsg-01-9784535787766

[altar]

読まずに初歩的なことを書いてるブコメは多変数・偏微分の例まで読んでほしいところ。

[ERnanchan]

なめらかな関数f(X)上の1点(x,f(x))を中心に、虫眼鏡で強拡大していくと、曲線だったもものが直線とみなせる。この様子を、式で書いたのが、dy=f'(x)dx。(x,f(x))を原点にとり、横軸にdx、縦軸にdy、傾きf'(x)。つまり接線。

[edy009]

高校時代、Δy/Δxで「分数だぞ」、dy/dxで「分数じゃないぞ」、微分方程式のdy=dxで「分数じゃないけど分数みたいに扱っていいぞ」とひたすら翻弄されたのがやっとスッキリするのかと思ったらそうでもないのか。残念

[kagehiens]

超準解析と聞いて

[aceraceae]

「両辺に∫つけちゃっていいの?」という本があったが理由や原理で納得したい派としては授業ではそういうものだからで終わりがちなこういう根本的な話がいちばん好きかな

[vonucello]

この辺、まさに学生当時モヤモヤして落ちこぼれた。やっぱそんな明快なもんじゃなかったのか。

[onesplat]

面白いし賢いなぁ

[showgotch]

予備校で習った気がする。数学の問題は意味以前に記号の読み方がわからんことだと思うんだよな。デルタとかスモールデルタとか極わずかを表すdでぃーとかなんの頭文字かで少し察せるところからスタートして欲しい

[H_He_Li_Be]

面白そうだけど月500円のサブスクか。本になるまで待っても良さそう。

[richmikan]

dy/dxという記法を発明したライプニッツは天才だった。

[sirius_taka]

やり直し学習したい人はkindle unlimitedに微分・積分の本がたくさんあるやで

[dekasasaki]

多変数だと確かに違和感あるな、面白い

[njamota]

dy/dxの上下が分離することが高校の時どうしても納得行かなかったんだが、そう変な感覚でもないらしい。「微分積分学は、現代数学の水準においても「完璧な学問」とは言い難い面がある」とは驚き。

[moonieguy]

デジタル信号処理やり過ぎて便宜的？なっとるやろがいってなったけど多分順番が逆

[estragon]

“dxの意味の「答え」はひとつではなく、いくつもある。そして、そのそれぞれが異なる角度から微分積分学を照らしている。”

[fluoride]

よくわからんけど疑ってはならない何かとして飲みこんでたけど、本当によくわからんかったんだ

[hkanemat]

数学史もしくは数学の哲学

[enhanky]

大学で物理やってたけどそこまでちゃんと考えずに普通に代数的記号として扱ってた。言われてみれば確かに偏微分の時には分数的な演算はできない。数学者はちゃんとしてるな。

[kabuquery]

頭が痛くなった。理解できるようになりたい

[sayuremix]

「無限に小さい量」を扱えば便利に計算できる！と思っていたがよく考えたら「無限」って何だよ…となり詰むやつじゃん

[liposo]

ちなみにハーメルンだとtex変換ツールがあるから綺麗に数式書ける。あんまり見ないけど…

[fraction]

物理系は微積黎明期からdy=¥alpha dxとdy/dx=¥alphaは区別せずに使って現代に至る。数学では下にコメあるけど全微分=1-形式としてdy=¥alpha dxは合理化できる

[camellow]

すごい。冒頭からまったく理解できない！数学を学ばなかったのは最大の失敗かもしれないなあ。

[kura-2]

こういうふうに定義すると確かに矛盾なく定義できて、その理屈を進めていくとこうなる、という話の一つなのだが、数学て導入部分だけで面白いと思うかどうかがわりと鍵。

[hkdn]

なるほど数学屋さんはこういうものの考え方するんやな。おもしろい。

[tettekete37564]

うーむほとんど覚えてない。やり直したいな(そんな余力はないが

[tomono-blog]

だって、物理とか工学とかではそうやって記述したほうが便利なんだもーん。ライプニッツも便利だから導入したんやで。https://youtu.be/TU1scwFY11Q?si=nhZADVY4jfxxmDBZ

[pixmap]

なんとなく、関数と導関数がそれぞれ連続で滑らかなときに使えるのかなぁと思ってた。

[ardarim]

現実的に離散量として積分するときは明確にdx=Δx=delta xを実感するよね。バッテリ消費電力量のWh積算とか。

[mc22_90]

分数でないと言われるのに挙動は分数というモヤモヤへのつっこみがどう進むのか期待

[esrvuc]

分数ではないと言っておきながら、他方では独立した記号として切り離し