モーニングの「ドラゴン桜」に載っていた、東大の数学問題。 円周率が3.05より大きいことを証明せよ。 なんというか、シンプルかつエレガントな問題。エクセレント。 久々に解きたくなってきたよう、ということで、解いてみる。 中心角∠AOB=45°、半径OA=OB=1の扇形OABを考える。 弧AB=2π×45/360=π/4 弧AB>ABだから、π>4AB……(1) 余弦定理より AB^2=OA^2+OB^2−2OA・OB・cos∠AOB=2−√2 √2<1.415だから、AB^2>2−1.415=0.585……(2) (1)(2)より π^2>(4AB)^2>16×0.585=9.36>3.05^2 π、AB、弧ABは0より大きいので、π>3.05 本当はスッピンの力で解きたかったんだけど、さすが東大、力及ばず(苦笑)、ちょっとだけWebでカンニングしました。 (余弦定理なんてスッカリ忘れてた