図において面積に以下の不等式が成立する： 三角形 OAB<扇形 OAB<三角形 OBC \text{三角形} \ \mathrm{OAB} < \text{扇形} \ \mathrm{OAB} < \text{三角形} \ \mathrm{OBC} 三角形 OAB<扇形 OAB<三角形 OBC すなわち， 12sin⁡x<12x<12tan⁡x \dfrac{1}{2}\sin x < \dfrac{1}{2}x < \dfrac{1}{2}\tan x 21​sinx<21​x<21​tanx となる。両辺 を sin⁡x\sin xsinx で割って逆数をとる： cos⁡x<sin⁡xx<1 \cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1 cosx<xsinx​<1 ここで，x→+0x \to +0x→+0 とすると，cos⁡x→1\cos x\to 1cosx→1 なの

8パズル，15パズルはパネルをスライドさせて目標の形（図の形）を作るゲームです。名前は知らないかもしれませんが，ほとんどの人が一度はやったことがあるゲームだと思います。 8パズル，15パズルの解析には置換とそのパリティ（奇置換，偶置換）の知識を使います。知らなくても雰囲気は分かりますが，きちんと理解するためには置換の知識が必須です。→置換の基礎（互換・偶置換・奇置換・符号の意味） 8パズルも15パズルも同じように扱えるので，8パズルで解説します。 まず，8パズルの状態に対応する9次元ベクトル（9個の数字の並び）を考えます。左上から右下に向かって，どの数字が入っているのか順番に書き並べます（パネルがない「空き」の場所には9を入れます）。 例えば，図1の状態に対応するベクトルは，(1,2,3,4,5,6,8,7,9)(1,2,3,4,5,6,8,7,9)(1,2,3,4,5,6,8,7,9)