有限巡回群 [物理のかぎしっぽ]
指数についての注意 巡回群の元同士の演算では，普通の指数の計算のように，積に対して指数を足すような表記が可能です．便利ですね． ただし， 次の巡回群には高々 個の元しかありませんから，もし となったら，これはどれか他の元と同じだと言うことになります．注意しないといけません． 全ての元を順番に並べてある場合 ， が単位元 と等しくなるのですから， という具合に， を越えた分だけまた元に戻ります．そこで，指数として を で割った剰余を考えるようにすれば心配いりません． 部分巡回群と元の位数 位数 の巡回群 を考えましょう．つまり， の中には異なる元が 個あるということです． ここで， の任意の元を一つ選び(仮に と名づけます)， の冪乗を考えます． ここで は有限巡回群 の要素なので， の冪乗が無限種類あるということはなく，どこかで出尽くすはずです．全ての種類の出尽くした後の冪乗( とします)
半群・モノイド [物理のかぎしっぽ]
いままでは群ばかりを勉強してきましたが，他にもいろいろある代数構造を学ぶ手始めとして，半群を取り上げます．半群は，いますぐ使うわけではありませんが，群を見つめなおすのにも良い視点になることでしょう． 半群の定義 次のような条件を満たす集合を 半群 と呼びます． 結合法則を満たす演算が定義されている． 半群の定義はたったこれだけです．群の定義と比べると，単位元や逆元の存在が言われていません．半群は名前の通り，群よりも弱い構造だということができます． ついでにもう一つ， モノイド と呼ばれる代数構造を紹介します． 結合法則を満たす演算が定義されている． 単位元がある． モノイドは，半群よりも単位元の存在を要請している点で強い構造ですが，逆元の存在は言われていませんので，群よりは弱い構造だと言えます．ちょうど半群と群の中間の構造です．モノイドは『単位元を持つ半群』だとも言えるし，『群から逆元の条
ベクトル解析奮闘記1 [物理のかぎしっぽ]
はじめに 講義などで初めてベクトル解析を習った時，“難しい”，“わけわからん”と思った経験がありませんか？実は私もその一人です．いまだに詳しくはわかりませんが，これまで私が悩んだ過程をここにご紹介して，もしご参考になればと思います． 初講義前日 ベクトル解析って，ベクトルを使って問題解いたりするのでしょうか？ベクトルなら高校の数学で習ったし，要するに大きさと，方向（向き）を持つ概念ですよね？矢印作図して足し算したり，引き算したり，大きさを実数倍したり，特に始点を原点 にすれば終点の座標 でベクトルを表せちゃいます．作図しなくても，そういう風に成分表示すれば足し算，引き算も簡単です．内積だってわかります．成分で書くと とすればいいのです．簡単，なはずです． たいした事ないですよ，きっと．実は明日ベクトル解析の初講義なんですが，予習なんてしないで寝ちゃおっと・・・． 翌日初講義終了．ところが！
ラグランジェの未定乗数法 [物理のかぎしっぽ]
ラグランジェの未定乗数法というのは，「拘束条件がある関数」の極値を求める数学的テクニックです． とても重要な計算テクニックなので，ここで紹介します． この節では，最初にいきなり計算の仕方を紹介します． 計算だけを読んでも覚えにくいと思いますので，最後に例題も載せます． 例題をやりながらまた最初の説明に戻る，ということを何度か繰り返してみてください． 幾つか問題を解いてみれば，便利さを体感して頂けると思います． 一回なんとなく理解しておけば，忘れてしまっても， また使うときに「物理のかぎしっぽ」のページで復習すれば良いだけです． （※変数に付加的な条件式のことを，ここでは拘束条件と呼んでいます．） ここで , , が互いに独立ならば話は簡単で， 偏導関数 , , を連立して解けば良いだけですね． （ の右下に小さく とか とか書いてあるのは， を や で偏微分したという略記号です．慣れておく
物理のかぎしっぽ
[2024-02-04] Contribution/新型コロナウイルスの時系列解析(5)第５波の詳細モデル(nino著) [2023-12-17] Contribution/新型コロナウイルスの時系列解析(4)第５波の統計モデル(nino著) [2023-11-06] Contribution/新型コロナウイルスの時系列解析(3)移動平均等を用いた感染状況の把握方法について(nino著) [2023-08-31] スポンサーご紹介/株式会社Quemix様のご紹介 [2023-08-31] 流体力学（加筆）/流体力学における最小作用の原理（提案）(鈴木康夫著) [2023-06-28] Contribution/新型コロナウイルスの時系列解析(2)第５波の特徴(nino著) [2022-03-20] 生徒募集/大学物理の家庭教師、生徒さんを募集します(クロメル) [2022-03-13] C
内積空間 [物理のかぎしっぽ]
この記事の内容は，ここまで考えてきた双対基底や，共変ベクトル，反変ベクトルといった話題とは直接関係ありません．しかし，せっかくベクトル空間や双対空間など，抽象的な概念を紹介しましたので，ついでにもう一つ，内積空間について勉強してしまおうと思います． 今すぐに大事なのは『ベクトル の長さは と定義する』という式だけです．その他の部分は，内積，角度，図形の長さといった概念に関する数学的背景ですので，興味の無い人は読まないで先へ進んでも大丈夫です． 長さとは？ 復習になりますが，ベクトル空間とは，ベクトルの満たす加法とスカラー積の演算法則を抽象化し，一般化した概念でした． しかし，まだこれだけでは幾何学を始めるのに十分ではありません．（普通の）幾何学をするには，さらに『長さの概念』を導入しなければなりません．元の間に長さが定義されている集合を 距離空間 と呼びます． 私たちの日常の感覚から言うと
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