わずか数分で聴衆の心を惹きつける“数学界のスーパースター”時枝正 | 2023年に世界が注目した日本人100
仏紙「ル・モンド」は2023年5月、米スタンフォード大学の数学教授である時枝をこう評した。 「数学者は2つのグループに分けられがちだ。黒板にチョークで数式を書く理論派とプラスチックのシートにフェルトペンで書き込む応用数学者──しかし、日本の時枝正は第三のカテゴリーに属している」 ル・モンドは、パリのアンリ・ポアンカレ研究所での時枝の講義に注目する。彼は数学や物理学における古典的な内容を取り扱う際に、チョークではなく大きなコインを用意し、それで理論を視覚的に伝えているのだ。 時枝が注目される理由は、「わかりやすく数学を広める」という彼の特殊能力にある。シンプルな道具を使い、深淵な数学理論を親しみやすく解説するその手法は「手品のよう」とも形容される。 時枝の経歴もまた非常にユニークだ。もともと彼は画家としての将来を嘱望されるほど絵画に長けていた。日本を離れ、フランスに発ったのは14歳のころ。「
128ビット符号付き整数の最大値は素数 - Rustで任意精度整数演算
概要 2^n-1 型の数はメルセンヌ数と呼ばれ、更に素数である場合にメルセンヌ素数といいます。本記事では、メルセンヌ数に対する高速な素数判定法であるリュカ・レーマーテストを、Rustの任意精度演算用クレート rug を利用して実装します。 実行環境 CPU: Intel Core i7 1.8GHz メモリ: 16GB OS(ホスト): Windows 10 Home 21H1 WSL2: Ubuntu 20.04.3 rustc: Ver. 1.55.0 cargo: Ver. 1.55.0 符号付き整数型の範囲について Rustには組み込みの整数型として 8,\,16,\,32,\,64,\,128 ビット整数[1]がそれぞれ符号付き・符号なしで備わっています[2]。そのうち符号付き整数は、他の多くの言語と同様、2の補数によって負の数が表現されます。したがって、ビット数 n = 8,
線形代数とは？初心者にもわかりやすい解説 | HEADBOOST
「線形代数を簡単に理解できるようになりたい…」。そう思ったことはないでしょうか。当ページはまさにそのような人のためのものです。ここでは線形代数の基礎のすべてを、誰でもすぐに、そして直感的に理解できるように、文章だけでなく、以下のような幾何学きかがく的なアニメーションを豊富に使って解説しています。ぜひご覧になってみてください（音は出ませんので安心してご覧ください）。 いかがでしょうか。これから線形代数の基礎概念のすべてを、このようなアニメーションとともに解説していきます。 線形代数の参考書の多くは、難しい数式がたくさん出てきて、見るだけで挫折してしまいそうになります。しかし線形代数は本来とてもシンプルです。だからこそ、これだけ多くの分野で活用されています。そして、このシンプルな線形代数の概念の数々は、アニメーションで視覚的に確認することで、驚くほどすんなりと理解することができます。 実際のと
小話Vol.4：「コホモロジー」の意味を考える① - 新米数学博士の数学談話室
こんにちは！ルシアンです。 今日は、Twitterにて宣言していた「コホモロジー」の記事を書きたいと思います^ ^ みなさんは「コホモロジー」という言葉を聞いたことがあるでしょうか？ 「コホモロジー」はトポロジーの研究から誕生した概念で、今では多くの数学の中に見いだされ、分野を問わず大事な存在となっています。 しかし、双対をなす「ホモロジー」に比べると、「コホモロジー」はイメージするのが難しく、なかなか親しみがもてないという人も多いかもしれません>_< そこで本日は、 「昨日よりコホモロジーと仲良くなる」 を目標に、コホモロジーの幾何的な意味について考えてみたいと思います！ ※この記事は「単体複体のホモロジー」を勉強したことがあると、大分読みやすくなると思います。 「勉強したことない」という方は、先に佐野岳人さんの記事 taketo1024.hateblo.jp を読むことをオススメします
Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 4 - 俺の Colimit を越えてゆけ
Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ 4.1 Groups in a category Corollary 4.6 4.2 The category of groups is an equivalence relation Corollary 4.11 Cokernels are special coequalizers 4.3 Groups as categories composition of the congruence category is well-defined is a congruence Theorem 4.13 4.4 Finitely presented categories smallest congruence 参考書籍 4.1 Groups in a category Corollary 4.6 任意の が a
二項関係から生成される同値関係に関する形式的な証明 - 俺の Colimit を越えてゆけ
はじめに 二項関係から生成される関係 同値類 同値類と同値関係の性質 はじめに 数学の勉強をしていると、関係 を次の等式を含むような最小の同値関係とする、という定義がよく出てきます。 しかし、この定義は関係 の具体的な構成を与えていないので、この同値関係に関する証明をしようとすると途端に行き詰まってしまいます(例えば、商空間を定義域とするような関数が well-defined であることを証明する場合など)。 この記事では、二項関係から生成される同値関係を構成的に定義し、それが本当に最小の同値関係になっていることを証明します。 また同値類を定義し、同値類と同値関係に関して成り立つ基本的な事柄に関して補足します。 二項関係から生成される関係 を任意の集合 上の二項関係であるとします。このとき、新しい 上の二項関係 を次のように定義します。 \begin{align*} \forall x,y
圏論とは何か
数学に圏論という分野が出来てから半世紀ほど経つ事になる．大学の数学科過程で登場する集合位相，複素解析，環論体論などと比べれば，これはかなりの「若手」である．それゆえか，いまだに日本の数学課程で圏論の授業が行われることは（集中講義などを除けば）ほとんどない．（これは海外でも大差ないという話を聞く．）しかし，ひとたび大学院に入ると，幾何学や代数学を扱う人は，勝手に「圏論」の言葉が出てくる事に驚くかもしれない．圏論は現代数学の言葉として当然のように用いられ，その基礎学習は自習に任されるというのが現状である． しかし，このことは大きな問題を生み出している．というのも，少し齧った程度の自称「専門家」が様々な「圏論万能論」といった怪情報をインターネットに発信してしまっている事が多く見受けられる．また，当然のことながら「どの程度勉強するか」というのは，何をどのように専攻しているかに依存する．にも関わらず
R加群の direct limit(順極限、直極限、帰納極限)に関する基本的な命題の証明 - 俺の Colimit を越えてゆけ
はじめに 私はホモロジー代数を以下の書籍で学びました。 絶賛絶版中で入手は困難ですが、現状でも日本語でホモロジー代数を勉強しようと思うと、この本一択になるのではないかと思います。 証明は自分で追える程度に十分に形式的に書かれていて、誤植などもほとんどなかったように記憶しています。 ホモロジー代数 (岩波基礎数学選書) 作者: 河田敬義出版社/メーカー: 岩波書店発売日: 1990/11/08メディア: 単行本 クリック: 4回この商品を含むブログを見る この本の第1章で direct limit ( と表す) という概念が出てきます。 そこで direct limit に関して成り立つ基本的な事実として、 任意の の元 に対して、或る十分大きな と が存在して、 が成り立つ 任意の の元 に対して、 となることと、十分に大きいある が存在して、 となることは同値である ということが、証明無
数学がはじまる瞬間 —『数学する身体』に寄せて― - HONZ
『数学する身体』は、独立研究者・森田真生氏が「数学とは何か」そして「数学にとって身体とは何か」を自問しながら数学の歴史を追いかけた一冊である。その流れは、アラン・チューリングと岡潔の二人へと辿り着く。 そしてこの森田氏の試みを応援すべく、二人の刺客が客員レビューに名乗りを上げた。一人目は科学哲学を専門とし、同じように身体論へアプローチする下西 風澄さん。彼は本書を「格闘の書」と評す。ちなみに2人目は10月21日に掲載。乞うご期待。（HONZ編集部） 私たちが心を高鳴らせるのは、いつも「はじまりの瞬間」である。 数学という完成された美しい建築物を眺め、そして学ぶとき、私たちはその起源を忘却している。しかし、そこには確かに、不安になるほどの未知と可能性に開かれた「はじまりの瞬間」、そしてそこから走り出す物語があったのだ。 本書は、「数学がはじまる瞬間」、その風景を垣間見せてくれる。それは、生ま
数学を避けてきた社会人プログラマが機械学習の勉強を始める際の最短経路 - Qiita
巷ではDeep Learningとか急に盛り上がりだして、機械学習でもいっちょやってみるかー、と分厚くて黄色い表紙の本に手をだしたもののまったく手が出ず（数式で脳みそが詰む）、そうか僕には機械学習向いてなかったんだ、と白い目で空を見上げ始めたら、ちょっとこの記事を最後まで見るといいことが書いてあるかもしれません。 対象 勉強に時間が取れない社会人プログラマ そろそろ上司やらお客様から「機械学習使えばこんなの簡単なんちゃうん？」と言われそうな人 理系で数学はやってきたつもりだが、微分とか行列とか言われても困っちゃう人 この記事で行うこと 数学の基礎知識に慣れるための、数式が最初から出てこないプログラマ向けの数学入門書の紹介 機械学習の初学者には鉄板の、オンライン講座（MOOC）の機械学習コース紹介 環境 WindowsでもMacでもLinuxでも大丈夫(MATLAB/Octaveというツール
Oregon Programming Languages Summer School
Oregon Programming Languages Summer School — July 16-28, 2012 Logic, Languages, Compilation, and Verification Speakers Organizers Curriculum Schedule Participants The program consists of 80 minute lectures presented by internationally recognized leaders in programming languages and formal reasoning research. Technical Lectures Logical relations — Amal Ahmed Lecture 1 part 1 part 2 part 3 Lecture 2
零の概念とmax-plus半環の紹介 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
「1 = 0 のとき、いったい何が起きるのか？」に補足をします。普通に考えると、1 = 0 という等式が変だと感じるのはなぜか？ をもう少し詮索します。また、「1 = 0 のとき、いったい何が起きるのか？」の最後で触れた以下のような「もっと奇妙な例」も紹介します。 もっと奇妙な例として： 非負実数全体を台集合とする。 足し算は max{x, y} で定義する。 掛け算は普通の足し算とする。 内容： モノイドの中立元と吸収元 半環と零 max-plus半環 min-plus半環と三元の半環 トロピカル代数 モノイドの中立元と吸収元 モノイドとは単一の二項演算を持つ代数系です。二項演算の記号として、日常的には用いられない記号□を使うことにします。また、モノイドの特別な要素はギリシャ文字で表します。なぜそのようにするかというと、「+, ・, 0, 1」などの普通の記号を使うと、それが持っている本
なぜ、どのように足し算が消失したのか：プランク定数の大惨事と生存者達 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2008年から2010年くらいに、トロピカル代数や一元体F1の話をよくしていました。今でもウッスラと興味は続いています。ずっと疑問に感じているのは、「一元体では、なぜ足し算がないのだろうか？」ということです。 「定義より足し算を持たない」と言ってしまえばそれでオシマイですが、なにかの根拠が欲しいのです。理論的な根拠じゃなくてもいいです、心情的な納得感があればそれでいいんです。 2010年当時に僕が考えた「納得のための理屈」は、「もともとはあった足し算が極限操作で死滅してしまった」というものです。しかし、完全に死滅したわけじゃなくて、一部の足し算が生き残っているように思えるのです。生き残ったヤツラが役立たずなので、足し算がないように見える、ということです。 この事情を、「いわゆる「一元体」の正体をちゃんと考えてみる」の「足し算はまったくないのだろうか」という節で次のように書いています。 [一
「スパコンで力任せに数独の難しい問題を作る」はなぜ失敗したのか。 - あそことは別のはらっぱ
数独。ナンバープレースとか言われているパズルですね。 9x9のマス目があって、マス目はさらに3x3ごとにまとめられています。 そこに、1から9までの数字を入れていきます。 縦、横には同じ数字は1つしかはいりません。また、3x3でまとまったマス目(ブロック)でも同様の制限をうけます。 すべて矛盾なく埋まればパズル成功となります。 というルールはいまさらここで書くまでもなくご存じの方も多いかと思います。 ついこの間これに関して「スパコンで力任せに数独の難しい問題を作る」と題したナンバープレースの問題が発表されましたが、人間の手であっさり解かれてしまいました。 ここではなぜそんなことが起こったのか考えてみたいと思います。 数独はどうやって解くか。 「1から9までの数字が縦、横、ブロックに1度だけ入る」という制限が数独の基本解法の全てです。どんな応用解法も、この制限なしには生まれません。 さらに、
引き算と無限個の足し算は両立しない - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
次の論文のなかにあった小ネタを紹介します。 Title: POSITIVE TOPOLOGICAL QUANTUM FIELD THEORIES Author: MARKUS BANAGL URL: http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~banagl/pdfdocs/postft.pdf 簡単な話ですが、「ヘーッ」と目から鱗でした。 [追記]以下、半環と環の話になってますが、掛け算を使ってないので可換モノイドと可換群としても通用します。[/追記] 半環については昨日の記事でも紹介しました。足し算と掛け算が自由にできるが、引き算は要求しないような代数系です。別な言い方をすると、aに対して-a（マイナス）が必ずしも存在しなくていいのが半環です。-aの存在を要求すれば環となります。 自然数（非負整数）の全体Nは半環、整数の全体Zは環です。 過去の記事「可算な総和
400年の難問、｢ケプラー予想の証明｣やっと100％終わる
400年の難問、｢ケプラー予想の証明｣やっと100％終わる2014.08.13 22:0019,492 satomi コペルニクスが提唱した地動説を、天体運行法則で不動のものにした偉人ヨハネス・ケプラー。 そのケプラーが1611年に提唱した｢球は、八百屋に山盛りのオレンジみたいにピラミッド型に並べると一番沢山入る｣という説が、400年の歳月を経て、100％正しかったことがコンピュータの力で証明されました。 この立体最密充填の解答は、誰でも直感的になんとなく正しいことがわかります。けれども証明するとなると超厄介で、世界歴代の天才がいくら頭脳を結集しても証明できなくて、ずっと｢定理｣ではなく｢ケプラー予想｣と呼ばれ続けてきた難題中の難題です（参考）。 証明したのは、米ピッツバーグ大学のトマス・ヘールズ教授です。もともと氏が1998年に発表し、｢フェルマーの最終定理以来の難問が解けた！｣と世界中
数学の「ポアンカレ予想」を理解するための，動画・原論文・読み物・PDFのまとめ （ポアンカレからペレルマンまでの流れ） - 主に言語とシステム開発に関して
数学の「ポアンカレ予想」を理解するための資料として， 動画・原論文・日本語の読み物・PDFなどをまとめた。 数学者ポアンカレによる原著と，それを解決したペレルマン氏の論文， さらにペレルマン氏が１００万ドルの賞金を辞退した件の小説など。 数学をかじりたい普通の人，（リッチフローの観点で）位相幾何を本格的に学びたい人，科学史に興味がある人などに役立つ。 目次： （１）「ポアンカレ予想」を学べる動画 （２）「ポアンカレ予想」の原論文・PDF （３）ペレルマン氏による証明の論文PDF （４）「ポアンカレ予想」と「ペレルマン氏の理論」を解説している，学術的なノートや資料 （５）ポアンカレ予想が解かれるまでの歴史を扱った，日本語の読み物 （おまけ） （１）「ポアンカレ予想」を学べる動画 ポアンカレ予想の解決に関する動画。 上智大学による，高校生向けの講義（４０分ほど）： 上智大学 Open Cour
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Springerから本が色々無料DLできるようになったらしい
Hilbert<ヒルベルト> - 世界で一番ピュアなプログラミング言語 -
正規言語と代数と論理の対応：An Introduction to Eilenberg’s Variety Theorem
