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不完全性定理について(あるいは証明と計算について)
「証明」という言葉と「計算」という言葉 「計算」という言葉の説明 「証明」という言葉の説明 ここまでのまとめ 補足:「完全」という言葉について 対角化定理と再帰定理 対角化定理 再帰定理 ラムダ計算との関係 第1不完全性定理、停止問題、その他 第1不完全性定理の証明 停止問題、真を表す述語の定義不可能性 自然数論の決定不能性 補足: 「決定可能」「決定不能」という言葉について 第2不完全性定理 第2不完全性定理の証明 第2不完全性定理の内容 補足: ヒルベルトの形式主義(ヒルベルト・プログラム) まとめ 文献 「証明」という言葉と「計算」という言葉 論理学についての話や説明をする場合、 「証明」とか「証明できる」という言葉がふたつの意味で使われる。 ひとつは数学とか日常で普通に使うのと同じ普通の意味での 「証明できる」(何かの正しさを筋道立てて示すことができる)で、 もうひとつは形式的な論
不動点オペレータについて
不動点オペレータY 階乗関数は、 (define fact (lambda (n) (if (= n 0) 1 (* n (fact (- n 1)))))) のように、再帰的に定義できる。 再帰的定義を行なう場合はdefineやletrecを使うけど、 代わりにletを使うと再帰的定義はできない。 defineやletrecをどうしても使いたくないなら、多少工夫がいる。 例えば、factの引数を増やすという方法がある。 (let ((fact (lambda (self n) (if (= n 0) 1 (* n (self self (- n 1))))))) (fact fact 10)) ⇒ 3628800 (中略) 不動点オペレータYを使うと次のように書ける。 (let* ((Y (lambda (g) ((lambda (s) (g (lambda (x) ((s s) x))
プログラマのための「ゲーデルの不完全性定理」(1) - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
「プログラマのためのJavaScript」の番外シリーズ -- いやっ、ホントに。 これはシリーズのハブエントリーです。番号を（0じゃなくて）1にしたのは、全体目次だけじゃなくて内容が含まれるから。 ※ 印刷時にはサイドバーは消えるはずです、お試しください。 シリーズ全体目次（予定） （この記事；総論） 速攻速習編 自己適用からゲーデル化へ 「展望」への緊急パッチ（オハナシだよ） Reflective JavaScript 停止問題の構造 不完全性定理の構造 今回の内容： ゲーデルの不完全性定理とプログラミング ゲーデルが示したこと 不完全性定理の兄弟 -- 停止問題 JavaScript使うんだもんね 関連する記事（参考） 次の記事 速攻速習編 ●ゲーデルの不完全性定理とプログラミング 「ゲーデル」（人名；Kurt Godel、'o'の上に点々が付いてる）や彼の「不完全性定理」とかって、
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夏を己の手で終わらせていけ 夏の感傷を味わう余韻がない。なぜなら暑すぎるから。そして我が家では8月の末からダニの発生と上階の生活音に悩まされており、布団乾燥機をかけたり部屋を移動したりと、てんやわんやしているうちにセミの声が次第に小さくなっていっていることにようやく気づいたのだ…
404 Blog Not Found:TuringとChurchの狭間で
2006年04月16日13:53 カテゴリMath書評/画評/品評 TuringとChurchの狭間で The Emperor's New Mind Roger Penrose [邦訳:皇帝の新しい心] なんでひげぽんが反復がすぐにわからなかったかを憶測すると、「変数とは代入すべきもの」、という手続き型言語の呪縛が思い立つ。ひげぽんは別にがっかりする必要はない。hyukiさんさえそれに引っかかっていたんだから。 その証拠を、以下にお見せする。 [結]2005年8月 - www.textfile.org sub fix { my $G = shift; return $G->( sub { my $x = shift; return fix($G)->($x); } ); } これはPerlで実装した不動点関数で、全く問題なく動く。しかし、hyukiさんも知らぬ間に一つ「反則」を犯しているこ
なぜLispなのか
Hofstadter『メタマジック・ゲーム』 ミンスキー「ゲーデルはLispを思いついておくべきだった。もし彼がLispを思いついていたならば彼の不完全性定理の証明はもっと簡単なものになっていただろう」 ゲーデルの証明の一番難しいところは、数学的体系に自分自身を語らせるところにある。天才のひらめきが何段階か必要になる。しかし、Lispは、少なくともゲーデルが必要としていた意味で、まさに自分自身を直接語ることができる ゲーデルはLispを発明した！ 不完全性定理のLisp, Mathematicaによる記述 和田英一「Lispへのこだわり」(PDF) Eric S. Raymond「ハッカーになろう」LISP は、それをモノにしたときのすばらしい悟り体験のために勉強しましょう。この体験は、その後の人生でよりよいプログラマーとなる手助けとなるはずです。たとえ、実際には LI
Quines (self-replicating programs)
Table of contents What is a quine? What is this page? Introduction A first attempt and example Principles for writing a quine A second example: added clarity The fixed-point theorem Multi-quines: making use of introns Bootstrapping: recovering the code from the data Recapitulation Self-interpretation: using data as code Conclusion Links related to quines What is a quine? What is this page? A “quin
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