私が小学生のころ、自然数は1から始まると教えられました。ところが、現在では、0から始まると教えられています。この変更にはどんな意味があるのでしょうか。0から始まることによって自然数にどんな意味が見出されたというのでしょうか。 自然数を公理として初めて明確に表したのがペアノでした。ペアノの公理は、まず最初の数があり、その後に次々と数が出来ていくように造られています。したがって、ペアノの公理の場合、最初が1でも0でも問題ありません。とにかく自然数の最初の数があるということさえ明確になっていればいいのです。 ところが、現代集合論の公理としてのZF公理はそうではありません。ZF公理はどうしても0を自然数のはじめにしなくてはならなかったのでした。どうしてそのようなことが言えるのでしょうか。この点について考えてみたいと思います。 ZF公理は集合論の公理ですので、私たちが一般に自然数と呼んでいるものも各