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連載目次 前回の番外編4では、図形的な意味や一次独立、一次従属といった線形代数の基本を踏まえて行列式について見てきました。今回も同様に、固有値と固有ベクトルの考え方について、ポイントを押さえながら説明します。また、行列の対角化を行うことにより、行列のべき乗を簡単に求める方法を紹介し、その応用としてマルコフ過程の事例を紹介します。 ポイント1 固有ベクトルは一次変換を行っても向きが変わらないベクトル ひと言でいうと、固有値や固有ベクトルは一次変換を特徴付ける値やベクトルです。しかし、以下のような式がいきなり登場して面食らってしまった人もいるのではないでしょうか。 「一次変換を表す行列をAとしたとき、 を満たす0でないベクトルxをAの固有ベクトル、λを固有値と呼ぶ」 というものです。確かに、式を見た瞬間に気を失いそうになりますね。しかし、Aが行列で、λが定数であることに注目すれば、ベクトルを一
連載目次 前々回は、行列をNumPyの配列として表し、要素ごとの四則演算を行ったり、ブロードキャスト機能を利用したりする方法、さらに、行や列の操作、集計などについても見ました。前回は、行列の内積について基本的な考え方から計算方法を簡単に紹介するとともにNumPyの配列による基本的なプログラミングの方法、さらに応用例を見てきました。今回は線形代数の難所である行列式と固有値／固有ベクトルを求める方法と応用例を紹介します。 この連載には「中学・高校数学で学ぶ」というサブタイトルが付いていますが、2012年施行の学習指導要領で数学Cが廃止され、行列が実質的に高校数学で取り扱われなくなったので、行列になじみのない方もおられるかもしれません。そこで、行列式と固有値／固有ベクトルについて、必要最低限の考え方と計算方法も併せて紹介します（なお、2022年度施行の学習指導要領では数学Cと行列が復活しました）
ストラング先生の「線形代数イントロダクション」は説明が明確で読みやすく、書き方が平易でかつ図を活用して理解しやすいように書かれています。また、英語ですがビデオが用意されています。しかし、もともと難しい考え方については、やはり理解には時間を要します。また、先生は誰にでも分かるように平易に書いているので、学習のステップが多すぎて時間がかかるという批判もあります。2023年5月13日時点で、日本語に翻訳されているのは4版で、その後5版、6版と進化を遂げています。ストラング先生はその時代のニーズに合うように構成を少しずつ変えています。特に6章以降ではその変更がある程度あります。そして、版を重ねるごとに理解しやすくなっているように私には思えます。そこで、時間短縮して学びたい人のために、固有値、固有ベクトルについて見ていきたいと思います。4版、5版、6版の構成は以下の通りです。6章を勉強するだけでも楽
目的 「行列の固有値のみから固有ベクトルを求めることができる」というarxivの論文がTwitterで話題になっていました。 Absolutely Amazing Physicists (!) discover a new fundamental and amazing mathematical fact: You can get the Eigenvectors of a matrix using ONLY its Eigenvalueshttps://t.co/JsvjySDdWE pic.twitter.com/Mt797mmqDk — 〈 Berger | Dillon 〉 (@InertialObservr) November 14, 2019 固有値とか固有ベクトルに敏感な計算化学屋としては「ほんまかいな！」という感想を抱き、論文を参考にこの方法論を実装してみました。 Twit
連載概要 本連載はPythonについての知識を既にある程度は身に付けている方を対象として、Pythonでデータ処理を行う上で必須ともいえるNumPyやpandas、Matplotlibなどの各種ライブラリの基本的な使い方を学んでいくものです。そして、それらの使い方をある程度覚えた上で、それらを活用してデータ処理を行うための第一歩を踏み出すことを目的としています。 逆行列を求めるには ある正方行列A（行数と列数が同じ行列）があったときに、Aとの行列積を計算すると単位行列（行列の左上から右下に向けた対角要素の値が1、他の要素の値が0となるような行列）となるような行列のことを逆行列と呼び、A-1と表記します。Iを単位行列とすると、A・A-1＝A-1・A＝Iとなるような行列のことです。ただし、全ての行列に逆行列が存在するわけではないことには注意が必要です（逆行列が存在する行列のことを正則行列と呼び
Hiroshi Nishiura on Twitter: "ややこしいですが、Twitter民はフォローできますよね。接触を起こす属性別に再生産数を行列として計算し（次世代行列）、性的接触に介入できないことを想定、他のところで8割落ちたとして要素別に減少を加味、結果として固有値で与えられる… https://t.co/t9SvJYxJsn"
ややこしいですが、Twitter民はフォローできますよね。接触を起こす属性別に再生産数を行列として計算し（次世代行列）、性的接触に介入できないことを想定、他のところで8割落ちたとして要素別に減少を加味、結果として固有値で与えられる… https://t.co/t9SvJYxJsn
初版年月日 2019年12月20日 書店発売日 2019年12月20日 登録日 2019年11月7日 最終更新日 2023年1月28日 紹介 固有値計算とは正方行列の特徴量である固有値・固有ベクトルを求めること，特異値計算とは一般の行列の特徴量である特異値・特異ベクトルを求めることを指す．特に多変量解析の主成分分析，重回帰分析，情報圧縮などの一手法として，コンピュータ性能の向上によって一般的になりつつあり，自然科学，工学をはじめとしたあらゆる分野での応用が進んでいる． 本書では固有値計算・特異値計算における基礎理論の解説に重点を置き，より正確に，かつより速く値を求める方法を解説し，アルゴリズムを通して理解を深められるつくりとした． 付録として，FORTRAN90またはFORTRANによる固有値計算のためのソースコードを収録した． 著者 長谷川秀彦／今村俊幸／山田 進／櫻井鉄也／荻田武史／相
はじめに 機械学習の学習をはじめました。調べたこと学んだことを記録しています。 1.行列の種類と特徴 機械学習の学習で出会ったものをまとめます。学習が進めば編集する予定です。 2.固有値分解 2.1. 固有値と固有ベクトル 正方行列$A$、スカラ$\lambda$、0ベクトルでないベクトル$\vec{x}$に対して以下が成り立つとき、 $$ A\vec{x}=\lambda\vec{x} $$ $\lambda$を行列$A$の固有値、$\vec{x}$を行列$A$の固有ベクトルといいます。 2.2. 固有値分解 正方行列$A$が固有値$\lambda$、固有ベクトル$\vec{v}$を持つとき、 \begin{align} A &=V\Lambda V^{-1} \\ \end{align} \\ ただし、 \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \
まず、実対称行列AAAが持つ複素数の固有値の 1 つをλ\lambdaλとします。また、この固有値の共役をλˉ\bar{\lambda}λˉとします。 λ\lambdaλは固有値なので、「Ax=λxA\boldsymbol{x} = \lambda\boldsymbol{x} Ax=λx」が成り立ちます。この式は、両辺の各要素を共役に置き換えても成立します。つまり、「Aˉxˉ=λˉxˉ\bar{A}\bar{\boldsymbol{x}} = \bar{\lambda}\bar{\boldsymbol{x}}Aˉxˉ=λˉxˉ」も成り立ちます。 AAAの成分は全て実数（虚数部分が 0）なので、A=AˉA=\bar{A}A=Aˉです。よって、上の式は次のように変えられます。 Axˉ=λˉxˉA\bar{\boldsymbol{x}} = \bar{\lambda}\bar{\boldsymb
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［AI・機械学習の数学］線形代数の固有値・固有ベクトルをマスター
Pythonで線形代数！～行列・応用編（行列式・固有値）
Python3ではじめるシステムトレード：固有値と固有ベクトル入門 - Qiita
話題の「固有値から固有ベクトルを求める」を検証する - Qiita
［NumPy超入門］逆行列、行列式、固有値と固有ベクトルを計算してみよう
固有値計算と特異値計算 一般社団法人 日本計算工学会(編集) - 丸善出版
固有値分解、特異値分解のメリット(機械学習の学習 #1) - Qiita
【固有値編】対称行列の対角化の性質と必ず対角化できる理由 | 大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門
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