二封筒の問題
問題： スワミ（ヒンズー教の坊さん）が，一つの封筒に $x$ 円，もう一つの封筒に $2x$ 円を入れ，一方をあなたに，もう一方を相手に渡した。どちらの封筒を渡される確率も 1/2 である。あなたが封筒を開けたら $y$ 円入っていた。相手の封筒の中身を $Y$ とする。あなたは考えた。封筒は等確率で渡されたのだから，確率 1/2 で $Y = y/2$ または $Y = 2y$ のはずだ。その期待値 $(1/2)(y/2 + 2y) = 5y/4$ は，あなたの封筒の中身 $y$ より明らかに大きい。あなたは目をキラリとさせて，相手に封筒を交換しようと持ちかけた。相手も同じ計算をして，同意した。 この問題は Ronald Christensen and Jessica Utts, Bayesian Resolution of the "Exchange Paradox", The Ame
Two envelopes problem - Wikipedia
The problem concerns two envelopes, each containing an unknown amount of money The two envelopes problem, also known as the exchange paradox, is a paradox in probability theory. It is of special interest in decision theory and for the Bayesian interpretation of probability theory. It is a variant of an older problem known as the necktie paradox. The problem is typically introduced by formulating a
2つの封筒問題
数年前に書いた文書ですが、要望によりアップします。 2つの封筒があり、それぞれにお金が入ってます。片方の封筒に入っている金額が、もう片方の封筒に入っている金額の2倍となっていることが分かっています。あなたは、最初にどちらか片方の封筒を選び、中身を見る事ができます。その後、改めてどちらの封筒を選ぶか決めることができます。二度目に選んだ封筒の中身をもらうことができます。 最初の封筒に1万円入っていました。この時、封筒を交換する方が得か、交換しない方が得か、あるいはどちらでも同じか？最初に選んだ封筒を封筒Aとすると、ランダムに封筒を選んだことから、封筒Aが金額の小さい封筒である確率は1/2、金額の大きい封筒である確率は1/2です。すると、もう片方の封筒Bに入っている金額は、1/2の確率で2万円、1/2の確率で5000円となります。したがって、封筒Bに入っている金額の期待値は 1/2*20000+
サンクトペテルブルクのパラドックス - Wikipedia
ダニエル・ベルヌーイ サンクトペテルブルクのパラドックス (St. Petersburg paradox) は、意思決定理論におけるパラドックスの一つである。極めて少ない確率で極めて大きな利益が得られるような事例では、期待値が発散する場合があるが、このようなときに生まれる逆説である。サンクトペテルブルクの賭け、サンクトペテルブルクの問題などとも呼ばれる。「サンクトペテルブルク」の部分は表記に揺れがある。 1738年、サンクトペテルブルクに住んでいたダニエル・ベルヌーイが、学術雑誌『ペテルブルク帝国アカデミー論集』の論文「リスクの測定に関する新しい理論」で発表した。その目的は、期待値による古典的な「公平さ」が現実には必ずしも適用できないことを示し、「効用」（ラテン語: emolumentum）についての新しい理論を展開することであった。 偏りのないコイン[注釈 1]を表が出るまで投げ続け、表
二つの封筒問題｜パラドックス | 株式投資に役立つ心理学
AさんとBさんに、お金が入っている二つの封筒が配られました。 二つの封筒のうち、1つには二倍の金額が入っていることがお互いに告げられています。 配られた封筒を開けると、Aさんの封筒には1万円、Bさんの封筒には2万円が入っていました。 このとき、相手の開けた封筒にいくら入っているのかは、お互いにわかりません。 相手の金額を知る前であれば、封筒の交換を申し出ることができます。 AさんとBさんは交換を申し出るべきでしょうか？ まずはAさんの立場になって考えてみましょう。 自分の封筒の中身が1万円ならば、Bさんの封筒の中身は5千円か2万円のはずです。 損したときは5千円減るのに対して、得したときは1万円増えるのですから、感覚的にも交換を申し出た方がよさそうです。 期待値を計算してみると （5千円＋2万円）÷2＝12500円になります。 1.25倍の金額が期待されるのですから、やはり交換を申し出た方
モンテカルロ法で次元の呪いを体験する - ぷる日記
MCMC講義（伊庭幸人） 難易度 - YouTube を観ていたところ、「(モンテカルロ法で円周率を求めるのは高次元になるとうまく行かなくなるので)一度は必ずやってみるべし！」と言われたのでやってみました。(4:17～) もちろんSASで。 N次元単位超球の(超)体積 超球を包む1辺の長さが2の超立方体の(超)体積 円周率を求める コードをシンプルにするために球の中心を原点にとり、すべての次元に対して正の方向のみを考えます。すると、球内部の体積は、単位立方体の体積はとなります。 この立方体の中に一様ランダムに点を打っていったときに、点を打った数と球の中に点が入ったときの数の比率が立方体の体積に対する球内部の体積の比率に近くなることが期待できます。 式で書くと、 について整理すると となります。*1 コード %macro pi(dim=, rep=); data pi; do i = 1 t
0.999... - Wikipedia
実数として "0.999…" と"1"は等しくなることを示すことができる（ただし、0.9999など途中で終了する小数は1と等しいと言えない）。この証明は、実数論の展開・背景にある仮定・歴史的文脈・対象となる聞き手などに応じて、多様な数学的厳密性に基づいた定式化がある[注釈 1]。 循環する無限小数一般に言えることだが、0.999… の末尾の … は省略記号であり、続く桁も 9 であることを示す。省略記号の前の 9 の個数はいくつでもよく、0.99999… のように書いてもよい。あるいは循環節を明確にするために 0.9、0.9、0.(9) などと表記される。 一般に、ある数を無限小数で表すことも有限小数で表すこともできる。本稿で示されるように 0.999… と 1 は等価性であるから、例えば 8.32 は 8.31999… と書いても同じ数を表す。十進数を例に採ったが、数が一意に表示されない
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