バナッハ-タルスキーの定理って何？

バナッハ-タルスキーの定理。これについては、そのものずばり「(砂田利一)バナッハ・タルスキーのパラドックス」という秀逸な一般向け解説書があります。この定理のキモである「選択公理」や「無限」「存在証明」を丁寧に解説してあります。さて.... ●「３次元の実数空間（つまり(x,y,z): x,y,zは実数）の中で、半径１の球体（中身が詰まっている）を考えます。この球体を（ある内緒の方法で）有限個の部分集合に分割します。（つまり重複も余りもないように分けます。）そして、これらの部分集合それぞれの形は全く変えずに、ただ（ある内緒の方法で）向きを変え、並べ替えて上手に組み合わせると、半径１の球体（中身が詰まっている）を２個作れます。」 これがバナッハ-タルスキーの定理です。 金でできた球体を２倍に増やす方法を早く知りたい、と思うのはあなただけではありません。実は「ある内緒の方法」というのは「存在する