微分形式です。1フォームw=2xydx＋x^2dy＋2zdzは完全であることを証明して下さい。よろしくお願いいたします。 - まず念の... - Yahoo!知恵袋

まず念のため、wが閉形式であること確認しておきます。 dw=d(2xydx＋x^2dy＋2zdz)=(2ydx+2xdy)∧dx+2x∧dy+2z∧dz =2xdy∧dx+2xdx∧dy=0 したがって、wは確かに閉形式です。 次に、１次閉形式wが完全であるためには、0形式d^(-1)(w)の存在が一つでも示せればよいですね。それには、積分してみれば簡単に見つけることが出来ます。答えは、 (x^2)y+z^2 です。この、０形式の外微分はwになりますね。したがって、wは完全です。これで、証明できました。（wが完全であるかどうかは、wが完全であることを示す具体例を提示するだけでいいんです。） 実際、(x^2)y+z^2の外微分は、 d{(x^2)y+z^2}=2xydx＋x^2dy＋2zdz=w となりますね。