凸解析 - 初級Mathマニアの寝言

この記事では最適化理論の基盤となる凸解析の理論を解説します。 ●最適化問題とは 目的関数と呼ばれる関数 を制約条件 のもとで最小化する問題を最適化問題と呼びます。特に、 が凸関数で、 が凸集合である時、凸最適化問題と呼びます。凸最適化問題は効率的に解く方法がたくさん研究されています。 ●凸集合と凸関数と凹関数 次の性質を満たす集合を凸集合と呼びます。 つまり、ある集合の任意の２点を結んだ線分がその集合に含まれるなら、その集合は凸集合です。凸集合と非凸集合のイメージ図は次のような感じになります。 次の性質を満たす関数を凸関数と呼びます。 凸関数と非凸関数のイメージ図は次のような感じになります。 凸集合と凸関数はエピグラフという概念を通じて関係付けることができます。 例えば、次のようにエピグラフを図示することができます。 凸集合と凸関数は次の関係があります。 凸関数は最小化のしやすい関数ですが

[omega314]

凸最適化。