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大谷翔平
atarimae.biz
円の面積は、「半径 × 半径 × 3.14」(半径 × 半径 × 円周率 \(π\) )という公式で求めることができます。 例題①半径 \(2\) cmの円の面積を求めて下さい。 答え: \(2 × 2 × 3.14=12.56\)(cm2) 正確には \(2 × 2 × π=4π\) 例題②半径 \(5\) cmの円の面積を求めて下さい。 答え: \(5 × 5 × 3.14=78.5\) (cm2) 正確には \(5 × 5 × π=25π\) ただ、この公式。「半径 × 半径 × 3.14」が何をどう計算しているのか具体的にイメージしにくいという問題点があります。 「なんでこの公式で円の面積が求まるんだろう?」と感じる方も多いのではないでしょうか。 そこで今回は「なぜ円の面積が半径×半径×3.14になるのか」を見ていきましょう。 photo credit: Travis Wise 円
置換積分法とは、変数をうまく変換することで計算量を減らすテクニックです。 たとえば、$\displaystyle \int x(2-x)^4 dx$ を考えてみましょう。 この積分は、このままだと \((2-x)^4\) を展開しないと積分の公式を当てはめることができません。 しかし、\((2-x)^4\) の展開はかなり手間がかかりますし、力技で解けても応用が効きません。 そこで \((2-x)=t\) と変換することで積分の公式を使いやすい形に変え、計算を楽にする。 それが、置換積分法です。 今回は、置換積分のやり方とコツを5つのステップに分けて解説していきます。 置換積分法は、大きく分けて5つのステップから成り立っています。 以下の例題を通じて、順にみていきましょう。 Step① \(=t\) に置きかえるものを決めるまず、\(x\) を使った式を \(t\) に置きかえます。 例題
\(ax^2+bx+c\) の形の二次式を \(a(x-p)^2+q\) の形に変形することを平方完成と言います。 \(m^2\) のことを「平方メートル」と呼ぶように、2乗した値のことを「平方」と呼びます。 平方完成とは「平方 \((x-p)^2\) の形を完成させる」という意味です。
内積の定義ベクトルの内積には、2つの定義の仕方があります。 1つは幾何学(図形・空間の性質について研究する分野)による定義。 もう1つは代数学(文字を用いて方程式の解法を研究する分野)による定義です。 ① \(\vec{\ a\ }\cdot\vec{\ b\ }=|\vec{\ a\ }||\vec{\ b\ }|\cos{θ}\) と定義する(幾何的定義) ② \(\vec{\ a\ }\cdot\vec{\ b\ }=a_1b_1+a_2b_2\) と定義する(代数的定義)
まず、おさえておきたいのが \(a_{n+1}=pa_n+q\) \((p≠1,q≠0)\) の形の漸化式。 等差数列・等比数列・階差数列型のどのパターンにも当てはまらないので、コツを知らないと苦戦する漸化式です。 たとえば、\(a_1=2\) , \(a_{n+1}=3a_n-2\) という漸化式の場合。 数列にすると \(2,4,10,28\cdots\) という並びになり、一般項を求めるのは難しそうですよね。 しかし、この数列の各項から \(1\) を引くとどうでしょう? \(1,3,9,27,\cdots\) で、初項 \(1\) , 公比 \(3\) の等比数列になっていることが分かりますよね。 等比数列にさえなってしまえばこちらのもの。 等比数列の一般項の公式に当てはめることで、ラクに一般項を求めることができます。 一般項が \(a_n=3^{n-1}+1\) と求まりましたね
マイナスどうしのかけ算を実生活で見かけることって、めったに無いですよね。 そのため、「なぜマイナス×マイナス=プラスになるのか」が直感的に理解しにくいという問題があります。 そこで今回は、「負の数どうしのかけ算が、なぜ正の数になるのか」を、図を使って説明していこうと思います。 負の数のかけ算が正の数になる理由まず、「負の数どうしのかけ算が正の数になること」を数式上で実感してみましょう。 下の数式は、\((-2)\) にかける数を徐々に減らしていくと答えがどうなるかを表しています。 \((-2)×3=-6\) などの答えを見比べていくと かける数が \(1\) 減るごとに答えが \(2\) ずつ増えているのが分かりますね。 では、かける数がさらに減っていき、ゼロを下回ったらどうなるのか? ゼロを下回ったからと言って、数の法則が変わることはありません。 「マイナス×マイナス」も同じように、かけ
このページでは、三角比・三角関数の公式をまとめています。 予習・復習に役立てていただければ嬉しいです。
サイン・コサイン・タンジェント まず、原点 \(O\) を中心とする半径 \(r\) の円と、その円上の点 \(A(x,y)\) を考えます。 「\(x\) 軸の正の部分」と線分 \(OA\) による(反時計回りを正とする)角の大きさ \(∠BOA=θ\) に対して \(\sin{θ} =\dfrac{y}{r}\) \(,\cos{θ}=\dfrac{x}{r}\) \(, \tan{θ} =\dfrac{y}{x}\) で表される3つの三角比の関数のことを、三角関数と言います。 「\(\sin{θ},\cos{θ},\tan{θ}\) の分母・分子をド忘れしそう…」と感じる方も多いかもしれませんが、これらはその頭文字 s,c,t の筆記体のイメージと結びつけると覚えやすくなりますよ。
今回は、「行ベクトルと列ベクトルの内積」・「2×2行列どうしのかけ算」・「l×m行列とm×n行列のかけ算」について書いていきます。 行ベクトルと列ベクトルの内積行ベクトルと列ベクトルの内積は、以下の式で与えられます。 これは、下図のように「対応する成分をかけ算して合計した値」と考えると分かりやすいです。 \(2×2\) 行列どうしのかけ算のやり方2行2列の行列どうしのかけ算は、以下の行列で求められます。 Step① 行・列の平行線と同じ方向に線を引くまず、「左の行列の行間に横線」「右の行列の列間に縦線」を引きます。 こうすることで、内積を求める行・列の対応が分かりやすくなります。 「行」・「列」の漢字右側の平行線と対応させると覚えやすいです。 Step② 「左の \(1\) 行目」と「右の \(1\) 列目」の内積=「 \(1\) 行 \(1\) 列の成分」つぎに、行列の積の1行1列成分を
\(2^3\) や \(3^4\) に限らず、\(3^{-2}\)・\(5^\frac{1}{2}\)・\(8^π\) といった値も含めた「\(a\) の \(n\) 乗」の形で表される数 \(a^n\) のことを「\(a\) のべき乗」と言います。 この記事では、べき乗の定義と「\(3^{-2}\)・\(5^\frac{1}{2}\)・\(8^π\) とは具体的にどういう意味なのか?」について書いていこうと思います。 「そもそも、 \(2^3\) や \(3^4\) ってどういう意味?」という方は、ぜひ「累乗とは。その意味と計算方法を解説」の記事から読んでみてください。 べき乗の意味。累乗との違いは?累乗とべき乗は、どちらも \(a^n\) で表されます。 一見すると同じ意味のようにも思えますが、厳密には ● 累乗は \(n\) が自然数(正の整数)に限定されている ● べき乗は \(n
重回帰分析とは、複数の説明変数 \(x_1,x_2,\cdots,x_k\) によって目的変数 \(y\) の変動をどの程度説明できるかを分析する手法です。 例えば、気温 \(x_1\) と価格 \(x_2\) によって販売量 \(y\) の変動のほとんどを説明できることが分かれば 「明日の気温は \(26\) 度の予報だから、値引き価格の \(180\) 円で販売すると在庫切れになりそうだ。明日は通常価格の \(200\) 円で販売しよう」 といった判断が可能になり、利益の最大化につながります。 このように、重回帰分析は身近にあるさまざまな課題の解決に役立つツールです。道具の1つとして、ぜひ使いこなせるようになっておきたいところ。 回帰分析とその主な目的。単回帰分析・重回帰分析・ロジスティック回帰分析の違いについて 今回は、回帰分析の主な目的とその種類について解説していきます。 ...
四角形の\(4\)つの頂点 \(A,B,C,D\) がすべて同じ円周上にある(内側から接している)とき、「四角形 \(ABCD\) は円に内接する」といいます。 反対に、四角形 \(EFGH\) の\(4\)つの辺がすべて同じ円に外側から接しているとき、「四角形 \(EFGH\) は円に外接する」といいます。 >>関連記事:円に外接する四角形の性質まとめ【向かい合った辺の合計が等しくなる理由】 四角形 \(ABCD\) が円に内接していると、色んなことが分かります。 例えば、向かい合った角の和は \(180°\) になりますし、トレミーの定理と呼ばれる等式が成り立つという性質もあります。 このページでは、そんな「円に内接する四角形がもつ性質」をみていきましょう。
しかし、「X社の月間売上高の標準偏差は500万円。Y社の月間売上高の標準偏差は200万円。よって、X社の売上のほうがばらつきが大きい」という評価は必ずしも正しくありません。 仮に、X社の平均売上が1億円なら、ばらつきの小さい安定した経営と言えますし 反対に、Y社の平均売上が250万円なら、ばらつきの大きい不安定な経営と言えるからです。 このように、異なるデータ同士のばらつきの大きさを比較したい場合には、数値による「絶対評価」よりも比率による「相対評価」のほうが重要になってきます。 この、異なる種類のデータ同士を比較するときに使う「データのばらつきの大きさの比率」を表したもの。 それが、変動係数です。 photo credit:winnifredxoxo
正の整数 \(n\) に対して 「 \(1\) から \(n\) までの全ての整数をかけ算した値」のことを「 \(n\) の階乗」と言い、\(n!\) と書きます。 例えば 「 \(1\) の階乗」は \(1!=1\) 「 \(2\) の階乗」は \(2!=2×1=2\) 「 \(3\) の階乗」は \(3!=3×2×1=6\) 「 \(4\) の階乗」は \(4!=4×3×2×1=24\) となります。 階段のように1つずつ乗数(かける数)が減っていくのが特徴的ですね。 階乗は、組み合わせの数やポアソン分布など、確率にまつわる様々な場面で登場する数です。 階乗を理解すれば「 \(A\) が \(B\) する確率は \(x\) %だ」と計算できるものがグッと増えてくるので、知らず知らずのうちに損な選択をしてしまうリスクが減ります。 ぜひ、このページで階乗の意味と性質を覚えていってください。
積分とは、「微分の反対」に相当する操作です。 たとえば、\(F(x)=3x^2\) を微分すると \(F'(x)=6x\) になりますよね。 これに対し、積分とは「微分したら \(F'(x)=6x\) になるような \(F(x)\) を求めること」に相当します。 「微分したら \(F'(x)=6x\) になる関数 \(F(x)\)」は、 \(3x^2\) 以外にもたくさんあります。 \(3x^2+4\) や \(3x^2-15\) なども、微分したら \(6x\) になりますよね。 \(3x^2+(定数)\) の形でさえあれば、定数の部分は \(2\) でも \(-1\) でもかまいません。 そこで積分では、これらをまとめて \(F(x)=3x^2+C\)(\(C\) は積分定数)と表記します。 今回は、そんな積分のやり方や「不定積分と定積分の違い」について解説していきます。 積分の記号。
素数とは「1より大きい整数で、1と自分自身でしか割り切れない数」のこと。 英語では Prime Number と言います。※ここでの「割り切れる」は自然数で割ったときの「あまり」が0の意味 例えば 「1」は「1より大きい整数」ではないので、素数ではありません。 「2」は「1より大きい整数」で「1と2以外の自然数では割り切れない」ので、素数です。 「4」は「1より大きい整数」ですが「1と4以外にも2で割り切れる」ので、素数ではありません。 「5」は「1より大きい整数」で「1と5以外の自然数では割り切れない」ので、素数です。 今回は、この素数の定義とその活用法について書いていきます。 素数の定義素数の定義は、「正の約数が 1 と自分自身の2個だけである自然数」です。 注意点としては、「1」は素数ではないということ。 「1」の正の約数は「1」の1個だけですから、「素数とは、正の約数が2個の自然数
を満たす「\(\vec{\ 0\ }\) でないベクトル \(\vec{\ x\ }\)」と「スカラー \(λ\) 」の組み合わせが存在するとき、 \(\vec{\ x\ }\) を「\(A\) の固有ベクトル」と言い、\(λ\) を「\(A\) の固有値」と言います。 たとえば、\(A=\left(\begin{array}{cc}4 & 1\\2 & 3 \end{array}\right)\) なら \(\vec{\ x\ }=\left(\begin{array}{c}1\\-2 \end{array}\right)\) かつ \(λ=2\) のときと \(\vec{\ x\ }=\left(\begin{array}{c}1\\1 \end{array}\right)\) かつ \(λ=5\) のときに \(A \vec{\ x\ }=λ \vec{\ x\ }\) が成り立ちま
たとえば、\((1,2,3)\) と \((4,5,6)\) の外積は、\((-3,6,-3)\) となります。 このページでは、外積の定義や性質を見ていきましょう。 外積 \(\vec{\ a\ }×\vec{\ b\ }\) とは ①その向きが \(\vec{\ a\ }\) と \(\vec{\ b\ }\) に直交する方向で(右ネジの法則) ②その長さが「\(\vec{\ a\ }\) と \(\vec{\ b\ }\) を2辺とする平行四辺形の面積」に等しい という性質を持ったベクトルのことを言います。 外積はもとのベクトルと直角に交わる外積 \(\vec{\ a\ }×\vec{\ b\ }\) は、元となったベクトル \(\vec{\ a\ },\vec{\ b\ }\) の両方と直角に交わるという性質を持っています。 そのため、2つのベクトル \(\vec{\ a\ },\
あるところに 「数学は暗記だ」というAさん 「数学は理解だ」というBさん そして「数学は暗記だ」というCさんがいました。 3人が全国模試を受けたところ、Aさんは40点・Bさんは70点・Cさんは90点でした。 ①数学は暗記だ→40点数学が苦手なAさんは「数学は暗記だ」という話を信じ、ひたすら暗記に取り組んでいます。 Aさんは、公式を丸暗記し、解法を丸暗記し、答えも丸暗記します。 しかし、出題内容を少し変えられただけで「暗記していない問題」になってしまうので、なかなかテストの問題すべてが「暗記できている問題」になることはありません。 Studying / scui3asteveo ②数学は理解だ→70点「数学は暗記だ」なんてバカバカしい、とBさんのような人は言います。 Bさんは、公式の意味を理解しているので、公式を忘れても1から算出することができます。 また、問題の構造を理解しているおかげで、
「本なんて読んだ内容をすぐ忘れるんだから、私には意味がない」 「せっかく良い本を読んだのに内容を忘れてしまって、人に上手く伝えられず悲しい」 こういった事を感じたことがあるという方、多いのではないでしょうか。 せっかく面白いと思った小説を人に上手く伝えられないのは残念ですし、実用書の内容を忘れてしまったら何のために読んだのか分からなくなりますよね。 そこで今回は、「読書内容を効率よく覚えるための3つのコツ」を紹介していこうと思います。 photo credit:Monica H. (1)本を読みながら、自分にとって価値のある情報を吟味する本の内容を覚えるうえで何よりも大事なのが、覚える情報を絞ることです。 そもそも、人間は数日では大した量の情報を身につけることはできません。 歴史の教科書を思い出してみてください。 あの、高々300~400ページ程度の本を一冊勉強するのに、ぼく達は何百日とい
\(n\) 個のデータ \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\)\(\cdots,(x_n,y_n)\) について、「\(x\) と \(y\) の共分散」を「\(x\) の標準偏差と \(y\) の標準偏差の積」で割った値のことを、\(x\) と \(y\) の相関係数と言います。 相関係数は、\(x\) と \(y\) の間の直線的な関係性の強さを表す指標です。 「年齢 \(x\) が高いほうが、年収 \(y\) も高い傾向がある」 「親の身長 \(x\) が高いほうが、子供の身長 \(y\) も高い傾向がある」 「勉強時間 \(x\) が長いほうが、学力 \(y\) も高い傾向がある」 世の中にはこういった傾向が数多く存在しますが、これらはあくまで『傾向』であって、「45才の人の年収が絶対に25才の人の年収よりも高い」という訳ではありません。 年齢も親の身長も勉強時間も、ある
偏りのないサイコロを120回投げても、すべての目がちょうど20回ずつ出ることは珍しいように、確率というのは全くの偶然でも多少は偏るものです。 「A,B,C,Dについて100人にアンケートをしたらCを選ぶ人が一番多かった。だからCが一番良い!」と思っても、それは確率の偏りに惑わされているだけかもしれません。 反対に、「人は無意識下にこんなバイアスを持っている」と言われたのに対して「いやいや、自分はそんなバイアスは持っていない。ただの偶然だろう」と思っても、統計を取ってみたら偶然とは考えにくいほどの差が出ているかもしれません。 確率の偏りに惑わされないためには、「今回得られた結果は確率の偏りによって偶然得られたに過ぎないのか、それとも意味のある統計結果なのか」を判断する能力が欠かせません。 その判断材料の1つとして便利なのが、カイ二乗検定(適合度検定)です。 photo credit:brow
消費税の増税を受け、CMなどでも見かける事が多くなってきた「個人間売買」。 不動産や中古車など、消費税が馬鹿にならない買い物は少なくありません。 「なぜ消費税がかからないのか」を理解しておかないと、いざという時に「ホントに今回のケースでも消費税はかからないの?」と不安になってしまいますよね。 そこで今日は、なぜ個人間売買だと消費税が0%になるのかについて書いていきます。 photo credit: Tax Credits 根拠条文個人間売買に消費税がかからないとする根拠条文は以下の通りです。 消費税法第4条1項国内において事業者が行つた資産の譲渡等には、この法律により、消費税を課する。 消費税法第2条4項事業者 個人事業者及び法人をいう。 消費税法第2条3項個人事業者 事業を行う個人をいう。 ・・・つまり? まず消費税がかかるのは、「国内において事業者が行った資産の譲渡等」のみ。 そして、
エビデンスとは、「証拠・根拠」を意味する英単語「Evidence」に由来する外来語です。 もともと医学・保健医療の分野から入っ …
条件付き確率とはある事象 \(A\) が起こったという条件のもとでの事象 \(B\) の確率 \(P(B|A)\) のことを、「\(A\) を与えたときの \(B\) の条件付き確率」と言います。 \(P(B|A)\) は、\(P_{A}(B)\) と表記されることもあります。 \(P(B|A)\) は、以下の公式から求められます。 黄色い部分が分母、赤い斜線部が分子です。 条件付き確率の例題数式だけだとイメージが湧きにくいと思うので、以下の例題を解いてみましょう。 (サイコロの各目の出る確率はそれぞれ \(1/6\) とします) 例題)サイコロを振って偶数の目が出た場合に、それが4以上の目である確率は? \(A\)「偶数の目が出た」という条件のもとで、 \(B\)「それが4以上の目である」確率 \(P(B|A)\) を求めます。 「偶数の目が出る確率 \(P(A)=1/2\)」「偶数かつ
共分散とは2つの変数の関係を表す値で、「平均値からの偏差の積の平均」で求められます。 共分散は「身長と体重」のような2変数データの関係性を表したり、「事象Xが起こるときに事象Yも起こる傾向があるか」のように2つの確率変数の関係性を表すのに使います。 n個の2変数データの共分散\(n\) 個のデータ \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\)\(\cdots,(x_n,y_n)\) に対して、以下の式で表される値 \(s_{xy}\) を共分散と言います。 実際に以下の4人 \(A,B,C,D\) の数学と国語の点数について、「数学と国語の点数の共分散」を求めてみましょう。 Step①xとyの平均を求めるまず、\(x\) の平均と \(y\) の平均を求めます。
加法定理とは、「\((α ± β)\) に対する三角関数」を「 \(α\) や \(β\) に対する三角関数」で表す公式のこと。 この加法定理の中でも特に重要なのが以下の2つです。 \(\sin{(α+β)}=\sin{α}\cos{β}+\cos{α}\sin{β}\) \(\cos{(α+β)}=\cos{α}\cos{β}-\sin{α}\sin{β}\)
例題)「30%の確率で100円、50%の確率で300円、20%の確率で800円もらえる」というゲームがあるとする。このゲームでもらえる金額の期待値はいくらか? 期待値とは、「確率を考慮した平均」です。 期待値の求め方Step①確率分布表を作るまず、「取りうる値」と「その値を取る確率」を対応させた表を作ります。 この表のことを、確率分布表と言います。 Step②「値」と「確率」をかけ算する次に、「取りうる値」と「その値をとる確率」をそれぞれかけ算して、積を求めます。 ※積:かけ算した結果のこと。2と3の積は6。 Step③それらを合計すると期待値が求まる最後に、求まった積をすべて合計すると、期待値が求まります。 このゲームでは、1回あたり平均して340円もらえることが分かりました。 今回は、この期待値の定義・公式・注意点について書いていきます。 photo credit:Saranya Ch
突然ですが、皆さんは「ネイピア数 e (≒2.718)の \(0.1\) 乗」がいくつか分かりますか? では、\(\sin{0.1}\) はどうでしょう? パッと答えるのは難しいですよね。 数の世界にはこのように、指数関数・三角関数など計算が複雑な関数が少なくありません。 そのため、物理学や統計学の領域では「式が複雑になりすぎて、厳密な計算をするのが困難。近似的な式でいいから、計算をカンタンにする手法が欲しい」と感じることがあります。 そんなときに重宝する、便利なテクニック。それが、テイラー展開です。 photo credit:jphilipg
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