なぜｘ２乗の微分は２ｘなのか - 小人さんの妄想

ｘ２乗と聞いて、こんな放物線を思い浮かべたり、 微分と聞いて、こんなイメージが浮かぶ人は、かなり数学を勉強したのだろうと思う。 でも、ここではいったん放物線のことは忘れて、 ｘ２乗とは、以下のように一辺ｘの正方形を順番に並べたものだと考えてみよう。 ここで、とある正方形と、すぐ隣の正方形との差分は、こんな風になる。 うんと近くの隣同士だったなら、コーナーにある小さな h^2 の正方形は無視できて、 実質的な差分は、上辺と右辺に張り付いている細長い「２つの、長さｘの長方形」になる。 差分は ２ｘｈ なのだが、これを「すぐ隣までの間隔ｈ」で割ると、２ｘだけが残る。 だから、 『ｘ^2 の、すぐ隣同士の差分は 2ｘ』 これが x２乗の微分 (x^2)' = 2 x の意味だ。 同じように、ｘ３乗という関数を、こんな風に一辺ｘの立方体を順番に並べたものだと考えてみよう。 この立方体の列で、すぐ隣の

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これはｈ＾２が無視できるというのが不思議というか素朴な直観に反するところではあるのだけど、正方形ではなく円で考えるとｈ＾２は出てこないからそういうものなのかもとも思う。