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この表の赤字はこの解説で主に使う用語で,カッコ内は様々な業界や分野で使われることのある別名である. 物理ではこれらの力をどれも「断面の単位面積あたりの力」として表すことにしている.機械工学,材料工学でもこれと同じ習慣を採用しており,応力と言えば単位面積あたりの力である. しかし土木・建築関係では,単位面積あたりの力を「応力度」と呼んでおり,ただ「応力」と言ったときには面積で割らない普通の力のことを意味している,という慣習の違いがある. さて,ここまでの用語は全て断面上の一点に掛かる力についての分類であった.これらの他に「ねじり応力」という用語もあるが,これは断面上のそれぞれの場所で異なる接線応力が働いている状況のことを表しているので,少し高次の概念である.物体全体をねじるように力を加えた場合には,そのような状況になったりする.しかし今回は断面上の一点に掛かる応力の表し方について話そうとして

うなり 波の重ね合わせについて話しておこう.この話を「物理数学」の中に入れるのも少し変だが,波を重ね合わせる話は物理の色んな分野に出てくるので,どこに分類すべきか迷った末のことである.必要になったときに思い出してじっくり読み返してもらったら良いだろう. 周波数の異なる複数の波を重ね合わせると,うなりを生じる.これは高校の物理でもやる.ある一定の周波数の音のボリュームが大きくなったり小さくなったりを繰り返して,「ウワーン,ウワーン」と聞こえるわけだ.ちょっと不快だったりする場合もある.この時,波の形は次のようになっている. なぜこのようになるかは,次のように三角関数の和積公式を使えば理解できる. 重ね合わせた二つの波の「平均の周波数の音」のボリュームが,というタイミングで,大きくなったり小さくなったりすることが分かる.先ほどの図に関数の波を重ねて書くと次のようになっている. 例えば 440

水星の謎 惑星というのは太陽を焦点の一つとした楕円軌道上を運行しているものだが,どれも普通の円と区別が付かない程度にしかひしゃげていない.水星は他より飛び抜けて離心率が大きい軌道を持つが,それでも長径と短径の比が 0.97 くらいであるから,やはり見た目は普通の円とほとんど変わらない. 離心率というのは,焦点位置が長軸半径の何割ほど中心から外れた所にあるかを示す数値である.水星の離心率は 0.2 くらいであるから,水星軌道の焦点の位置は円の中心から目立って離れたところにあることになる.図に描けば今話した事が一目で印象付けられるだろう. 太陽をちょっと大きく描きすぎたかも知れない.太陽の直径は水星軌道の直径の 1/83 程度であるから,直径 8 センチの円軌道を描いたときにやっと直径 1 ミリの粒に見えるくらいが本当だ. その楕円の長軸の方向は常に一定なのではなく,長い期間の間に徐々にずれて

直交行列 今回は 3 次の直交行列,しかも行列式が 1 になるものを考える.直交行列の意味や行列式を 1 に制限する意味については前回と変わらないので省略しよう. 簡単に言えば,直交行列は長さ 1 の互いに直交するベクトルを並べて作った行列であり,これを使って座標変換しても元の座標軸の目盛りの倍率を変化させないし, 互いの座標軸の角度も変えない.これは座標の回転や鏡像反転を意味するのだが,行列式を 1 に制限することで鏡像反転は防がれて,3 次元での座標の回転だけを意味することになる. 3 次元の回転を表す方法はなかなか厄介である.軸の周りの回転と,軸の周りの回転と軸の周りの回転角をそれぞれ,,と表そう.この 3 つの値を定めれば回転結果は一つに定まるかと言えば,そうではない.回転させる順序によって結果が変わってしまうのである. 例えば軸の周りの回転変換は面での回転であって,次のような行列

この記事の動機 2019年4月10日の夜に行われた記者会見のネット中継で,人類が初めてブラックホールの撮影に成功したという知らせを聞いた.ピントがぼやけたドーナツのような画像であった. それまで私はブラックホールを画像として捉えることができるなどとは想像していなかったから,ブラックホールが実際にどう見えるかという話題にはほとんど関心を持っていなかった.せいぜい SF のネタとして使える程度の知識だろうという感覚だ.人類が宇宙船で直接見に行くとしても私の生きている間には叶いそうにもない夢物語だろう. ところが,世界中の電波望遠鏡をリンクさせることで,地球サイズの電波望遠鏡として使って,我々の銀河とは別の銀河の中心にある巨大ブラックホールを見たのである.見たと言っても,今回は可視光の領域ではなく,電波領域である. 想像画で見るのとはかなり違った.細かい星が見える宇宙を背景にして真っ黒い円がある

色んな方法がある ローレンツ変換を求めるには大きく分けて二通りの方法がある.ローレンツ流の「マクスウェル方程式を不変に保つ変換」を導く方法と,アインシュタイン流の「光速度が慣性系によらず一定」であることから導く簡単な方法である. ベクトルを使ったり演算子を使ったり,行列を使ったりといった教科書による独自性はあるものの,大抵の教科書に載っているのはアインシュタイン流の方法である.中には電磁場の波動方程式を不変に保つような,どっちつかずの方法もたまに見かける.今さらわざわざ難しい方法を紹介する必要もない気がするが,二つの求め方に大きな思想的違いがあることを分かってもらいたいので両方とも紹介するつもりでいる. しかし１ページの分量が増えて読みにくくなるであろうし,マクスウェルの方程式についてはこの特殊相対論の解説の後の方でいろいろいじりまわそうと考えているのでここではアインシュタイン流の方法だけ

実は変分法と同じ内容 ここでは「汎関数微分」を物理から離れて説明しようと思う.前にも話したが,汎関数微分というのは,第 3 部の「ベルヌーイの問題提起」のところで説明したのと論理的には同じ内容である.しかしそうは言われても,じっくり考えてみないとどこまでが同じなのかなかなか気付けないものだ. 普通の微分があらゆる分野のあらゆる場面に使われているように,汎関数微分も色んな場面で利用されている.最速降下線問題に限って使うような話ではないわけだ. 特定の具体例に縛られて思考を狭めてしまうことが無いように,論理の要点だけをもう少し抽象的にまとめ直しておこうと思うのである.抽象的にとは言っても,難し過ぎることにはならないだろうから安心して欲しい.厳密な話をするつもりもないので,過度の期待はしないでもらいたい. 要するに私自身が何となく納得が行かず,もやもやしたものを感じ,それを晴らす為にあちこちで調

私の期待 近頃は量子コンピュータが注目され始めている.実用化が近いように思えるので,時代に乗り遅れないように勉強しておこうという人も多いだろう.私も数年前から興味を持ち始め,近頃ようやくある程度のことが分かるようになってきた気がするので,自分なりの解説を書いてみたくなってきた. 私は量子コンピュータの実用化を非常に楽しみにしているが,それが従来のコンピュータの座を奪うほどのものになるとは思っていない.限られた用途にのみ,補助的に使われるにとどまるだろうと予想している.その理由についてもこのあとで説明してゆくが,こういう予想は裏切られたほうが面白い.私としては人類に出来ることが増えていくのが楽しみで応援しているという感じだ. 一つの記事にまとめると長くなりそうなので,数回に分けて,徐々に付け足すように書いてみることにする. 従来のコンピュータとの比較 量子コンピュータではない従来のコンピュー

アインシュタインが 1905 年に書いた特殊相対論の論文の日本語訳（約 60 ページ）と、その解説（約 100 ページ）が文庫で読めるという珍しい企画の貴重な本です。 アインシュタインの書いた相対性理論の論文の題名は「運動する物体の電気力学」である.なぜ電気と相対論が関係しているのだろうか？相対性理論は,文字通り,電磁気学から生れたのである. 電磁気学の不思議 電磁気学の諸法則を 4 つの方程式系にまとめ上げた「マクスウェルの方程式」から話を始めよう.これをじっくり観察していると奇妙なことに気付いてくる. まず,このマクスウェルの方程式はどの慣性系で成り立つか,ということだ.この方程式を解けば電磁場が波を作ることが分かる.この波の速さはつまり光の速さのことなのだが,一体,光の何に対しての速さかということが問題なのである. 光を追いかけたらどうなるだろう？光に追いつくことは出来るだろうか？走

簡単なたとえ エントロピーの正体を理解するために,次のような小道具を用意して考えよう.次の図のように容器の内部を 6 つの領域に分けて番号を付ける.特に仕切りを作る必要はない. ここでサイコロを一回振って,出た目と同じ番号の場所に玉を一つ置く.これを 100 回も繰り返せば,100 個の玉は 6 つの領域にほぼ均等に置かれることになるだろう.経験上そうなることを知ってはいるが,なぜそうなるのだろうか. 逆に質問をこう変えると分かりやすい.全ての玉が左端に集まったりしないのはなぜだろうか.それは確率の問題である.左端に集まるためのサイコロの目の組み合わせは,100 回とも 1 の目が出るという一通りしかないからだ. 玉が全体にほぼ均等に散らばるのは,それを実現するようなサイコロの目の出方が,他と比べて圧倒的に多くあるからだと言える. 自由研究： 玉が 1 だけに集まる組み合わせは一通りしかな

実験内容 二重スリット量子消しゴム実験は2001年に次の論文で結果が報告されている. Walborn, S.P.; M.O. Terra Cunha; S. Padua; C.H. Monken (2002). "Double-Slit Quantum Eraser". Phys. Rev. A. 65 (3): 033818. arXiv:quant-ph/0106078 2001年6月にネット上のarXivに投稿され,2002年に正式な論文として出版されたということである. 前回のものよりもずっと単純な構成であり「遅延選択」の要素もない.「量子消しゴム」の意味は前回の記事で説明したので省略しよう. 左側にあるのがレーザー光源である.ここから出るビームは紫外線の領域なので紫色で表現してある.これを BBO と呼ばれる非線形光学結晶に当てると,波長が 2 倍になった赤色の光が発生する.1

量子消しゴムの意味 遅延選択量子消しゴム実験というのは1982年に提案されていた実験であり,1999年に次の論文で結果が報告されている. Kim, Yoon-Ho; R. Yu; S.P. Kulik; Y.H. Shih; Marlan O. Scully (2000). "A Delayed Choice Quantum Eraser". Physical Review Letters. 84: 1-5. arXiv:quant-ph/9903047 1999年3月にネット上のarXivに投稿され,2000年に正式な論文として出版されたということである. 「量子消しゴム」という言葉が専門用語っぽくないのだが,これは quantum eraser の直訳である.本来は「量子消去を試みる実験装置」といった意味合いであろうが,誤訳とも言えない.消しゴムや黒板消しをイメージさせる軽い言葉遊びも

実験の説明 遅延選択実験というのは量子力学に関する思考実験である.1978年頃にジョン・ホイーラーによって提案された.その後,技術的な進歩に合わせて徐々にその状況に似せた実験が可能になり,繰り返し行われてもきたが,大方予想されていた通りの結果が得られただけなのであまり注目はされていない. 思考実験がいつの間にか実験事実のように語られ,実際に実験が可能になる頃には「当然そういう結果が出るもの」として広く受け入れられていたりする.これは量子力学ではよくあることである. この実験のセッティングは次の図のようである. 左上にあるのがレーザー光源.そこから出た光が最初にぶつかるのがハーフミラー.これはビームスプリッターと呼ばれることもある.半分の光が表面で反射されて向きを変え,残りはそのまま透過して直進する.ハーフミラーというのはそんなに珍しいものではない.原理は簡単で,ガラスの表面に薄い反射膜が蒸

紹介 今回はちょっと脇道にそれて,複素平面上でテイラー展開できることの効能について話しておきたい.「一致の定理」と呼ばれるちょっと驚くような定理があって,その証明にテイラー展開が活躍するのである. 一致の定理とは,ある領域で正則な,一見したところ異なるように見える二つの関数があって,その領域内のほんの短い線上で二つの関数が一致することが確かめられたなら,その領域の全体で二つの関数は一致することが言えるというものである. これを聞いて誰もが驚くべきなのかどうかは私には分からない.「ふーん」と思うだけでも構わないような気もする.正直なところ,すごいことのような気もするし,当たり前のことのような気もする.「たまたまほんの一ヶ所で一致してる部分があったからと言って,全体が等しくなってるなんて,複素平面上の関数というのはいかに正則性に縛られていることか！」と驚くのが正解なのだろう.しかし「一ヶ所とい

ナブラだけを分離する 前回,関数の傾きを表すベクトルとして というものを定義した.こののことを関数の「勾配」または「グラーディエント」と呼ぶのであった.また,ここで使っているという記号は単独では「ナブラ」と呼ぶのであった. さて,このナブラだけをグラーディエントから切り離して,次のようなものであると定義してみよう. ここに出てくるなどは本当はこれだけでは意味がないのだが,「この後ろに来るものに対して偏微分を行う」という意味の記号として受け入れることにしよう.このように,他のものに対して計算の指示を与える記号を「演算子」と呼ぶ.このようなものを導入することで数式の表現に幅が広がるのである. 普段あまり意識していないが「＋」「－」「×」「÷」などの記号も広い意味での演算子である.だからなどを他の演算子と区別する必要があるときには「微分演算子」と呼ぶ.ナブラもまた微分演算子であるが,区別する必要

全微分形式 理想気体の圧力,体積,温度を結びつける式については前に であるとした.つまり,,の内の 2 つの量が決まれば,残りの 1 つは自動的に決まってしまうということだ.そこで,体積は温度と圧力の関数であると考えて,次のような式を作ることが出来る. なぜこのような表現が出来るかについてきちんと説明しておこう.軽々しく納得していいところではない. 温度と圧力がわずかに変化することで,体積がわずかに変化したとする.その変化は次のように書ける. これを変形してやれば, と書けるが,とについて無限小の極限を考えれば,分数で表した部分は微分の定義式そのものである.ただし高校で習う 1 変数のみの微分とは少しだけ違っていて,初めの項の中の分数の部分はの値を固定したままでのによる微分を表しており,2 項目の分数の部分はの値を固定したままでのによる微分になっている. このように他の変数を固定して行う微

何に使うのか 今回の話は書くつもりは全くなかったのだが,第 4 部の「相対論的量子力学」を書いている途中で予備知識として必要を感じたのでここに入れることにした.多くの教科書でこの話が出てくるが,私はこれまでそれが一体何の役に立つのか理解できず,邪魔な話だなぁ,と読み飛ばしていただけだった. しかし,知っておいて無駄な話ではない.いや,難しい話ではないので,知らなければ当然知っておくべきだ. 存在確率の時間微分 波動関数の絶対値の 2 乗は粒子の存在確率の密度を表していて,それをある範囲で積分することで存在確率が導かれるのだった.積分範囲として,考えられる全空間を設定すると当然その値が 1 にならなければおかしい. 当たり前のことだが,この値は時間とともに変化されると困る.この式の左辺が本当に変化しないのかどうか,あるいはどのような条件で常にこの関係が成り立っているのかを確かめておきたい.時

直観が頼りにならない SO(3)とSU(2)が出てきたので両者の関係について少し書いておこう. SO(3)は 3 次元での回転と同じ対称性を意味しており直観的に把握できた気分になる.対して SU(2) の方は 2 次元とは言ってもその成分が複素数であり全体像がイメージしにくい. ところがその構造を調べてやると意外にもSO(3)の方が複雑で,SU(2)の方があっさりしているのである. SO(3)は構造が複雑 3次元空間での回転と言っても,あらゆる方向を軸として色んな回転の仕方があるのである. ボールを手に持って回し,色んな方向を向ける様子を思い浮かべてみて欲しい.無意識に行っているかも知れないが,次々と色んな軸に沿った回転をさせている. 球面上のある一点をどこか別の点へ移動させるのも回転の一つだが,それを実現したときの球面全体の姿勢というのは一通りではない.回転にバリエーションがありすぎて,

コマというのは実に魅力的である.回転しているというだけで,普通なら倒れてしまうような不安定な姿勢で立ち続けていられるのである.それで,回転というものには未知の特別な力があるのだと考える人や,回転に神秘的なものを感じたりする人たちが多く出てくるわけだ.「回転によって重力が生み出されているのだ！」なんて主張する人まで現われる始末である.（トトロもコマの上に乗って空を飛ぶし・・・） その気持ちは理解できる.私も学生時代,コマがなぜ立っていられるのかについて深く考え続けた.それを説明していると思われる,教科書の「角運動量保存則」の部分を繰り返し読んでみたが理解できずに苦しんでいた. 友人に聞いても,どうもはっきりした答えが返ってこない.それでいてあまり不思議にも思わないのか,真剣に考えてくれる様子もない. 「なぜコマは立っていられるのか？」 この質問に明快に答えられる人が意外に少ないのである.それ

フーリエ変換が使える条件 フーリエ変換はフーリエ級数の周期を無限大に引き伸ばして作った概念だったから,当てはめて使える関数も同じような性質のものだろうと考えたくなる.ところが少しだけ条件が違っているようなのだ. これが少し分かりにくい.ほとんどの理工系向けの教科書がこの部分を詳しく書いてくれていないからだ.手元の教科書では,「関数が区分的に滑らかで,絶対可積分ならばフーリエ変換が成り立つ」とある.絶対可積分というのは関数の絶対値を取って積分したものが発散しないということであり,次のように書かれる. 教科書によっては「区分的に滑らか」という条件が書かれていないものもあるが,敢えて書かなかっただけで本当は入れる必要があるのではないかと私は思う.この条件が入っていないと,理工系では決して扱う必要のないようなひねくれた関数が議論に上ってくるだろう.そのような関数についてもフーリエ変換が成り立つのか

エルミート行列の固有値は全て必ず実数であり,ユニタリ行列をうまく選べば必ず対角化できる.つまり,という形にしたものが対角行列になるようにできる.（この時に出来上がる対角行列は,固有値が対角線上に並んだものであるから,当然全て実数である.） 実数の場合とほとんど同じ話だと分かるだろう.あとはエルミート行列とユニタリ行列が具体的にはどんなものなのかが分かればいいだけだ.予め言っておくと,実対称行列はエルミート行列の一種だし,直交行列はユニタリ行列の一種である.文字通り,拡張になっているわけだ. 豆知識：前回から何度も出てきているエルミートというのはフランスの数学者シャルル・エルミート(Charles Hermite)のことである.ここでエルミート行列を H で表しているのはその頭文字である.フランス語だから H は発音しない.しかし英語圏では「ハーミット」のように発音される.エルミート行列のこ

公式について思うこと これだけ紹介しておけばもう十分だろうと思ってベクトル解析の公式集をのぞいてみると・・・.なんと！まだまだある・・・. しかし一目で明らかだと思えるものも多く混じっているし,それほど負担にはならないのではないか？それとも,それが明らかだと思えるのは私が経験を通して徐々に得てきた感覚であって,いきなり見せられた初学者にとってはやはり面食らうようなものであろうか？ 私にとって公式集は長い間,目を逸らしたくなるようなものだったが,それはその意味すら分からなかったせいである.自分は体系的にまとまった親切な教育を受けたとは思っていない.計算のルールも記号の定義も勉強の仕方も全く分からないまま,長い時間をかけて何となく経験的にやり方を覚えて行くという効率の悪いことをしていたので,このように順番に説明を聞いた後で全く初めて公式の一覧を見た時に読者がどう感じるかというのが分からないので

2 階同次形 1 階の線形微分方程式を解くための実用的なやり方はすでに紹介してある.しかし 2 階以上では,どんな場合でも必ず解ける実用的なやり方というものはなくて,状況に応じて最良の方法を選択する必要がある.あまり実用的でない方法でも良いのなら,必ず解けるということはすでに前回示したのだった.これから紹介してゆくのは,特殊な場合における実用的なやり方である. さて,もしも線形微分方程式の既知関数の部分に全く変数が含まれないなら,つまり,方程式の見た目がただの定数ばかりで出来ていたなら,簡単に解けるのではなかろうか. 今回はその中でも最も単純な,2 階の同次形から試してみよう. このとというのはただの定数だ.この方程式を解くためには,解が次のような形になるであろうという仮定をしてやれば良い. これには多くの人がつまづく.「なぜその形だと仮定するのか」「これではもしそれ以外の形をした解があっ