平均値と中央値の差の絶対値は標準偏差以下｜大澤裕一

[定理] nnn個のデータx1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1​,x2​,⋯,xn​の平均値μ\muμ、中央値mmm、標準偏差σ\sigmaσに対し、∣μ−m∣≦σ|\mu - m| \leqq \sigma∣μ−m∣≦σが成り立つ。 データにおいて、平均値と中央値がある程度離れた値になる、ということはよくあります。例えば、外れ値の多いデータでは、平均値と中央値の差が大きくなります。その理由の111つとして、「平均値は外れ値の影響を受けやすく、中央値はその影響を受けにくい」が挙げられます。この事情により、外れ値の多いデータにおける代表値としては、平均値より中央値の方が適切でしょう。 ところで、平均値と中央値はどれくらい離れることができるのでしょうか？上記の定理は、この回答を与えています。平均値と中央値の差の絶対値が標準偏差よりも大きくなることはありません。 定理の

[cinq_na]

ワシントン州の独身男性の資産、平均と中央はビルゲイツ離婚のせいで大きく変動したはずだけど、中央500万、平均1250万(ビルゲイツ効果で+500万)、標準偏差106億(円)になるんで、証明どおりになる。

[tekitou-manga]

"平均値と中央値の差の絶対値は標準偏差以下"といわれるとそんな感じするなぁ。でも、"「偏差値の中央値が61」となることはあるか。"といわれるとワンチャンありそうな気がしてしまう。不思議

[l_etranger]

！なるほど。個人的にはこれは結構役立つ知識。平均と標準偏差しか与えられていないデータは多いし日常的に目にするので，中央値がどれくらいかのおおまかな判断に役に立ちそう。

[tzk2106]

役に立つかはわからないけど、知ってはおきたい。

[lord-of-jewels]

証明に使われている事実(2)の証明 https://hiraocafe.com/note/baratsuki.html

[Sampo]

知見だ