写像、像、逆像、写像のグラフ - Mathpedia

高校で学習した関数の概念を一般化した写像の定義と、その基本的な性質を述べる。 定義 1 $X,Y$ を集合とする。 各 $X$ の元 $x$ に対して $Y$ の元がただ一つ定まるような対応 $f$ が与えられたとき、その対応 $f$ を定義域 $X$ から終域 $Y$ への写像(map) といい $f \colon X \longrightarrow Y$ と書く。終域 $Y$ が数の集合やその直積であるとき、 $f$ は写像ではなく関数ということもある。 写像の定義で要請されているのは次のふたつ。 （１）定義域の任意の元は必ず終域に何らかの対応先を持っていなければいけない。（数式などで明示できていなくてもよい） （２）どんな定義域の元も終域にふたつの対応先を持ってはいけない。 その一方で、次のふたつは許されている。 （３）どの定義域の元にも対応していないような終域の元があってもよい。