AIC AIC yn rn = ∆logyn = logyn − logyn − 1 ARCH Engle wn rn rn = σn wn logσn 2 = α + βwn 2 −1 (1) rn = σn wn logσn 2 = α + βlogσn 2 −1+ vn (2) logrn 2 = logσn 2 + logwn 2 logσn 2 = α +βlogσn 2 −1 + vn (3) Tn n εn σn yn σn σn σn 2 Kitagawa and Gersch Tn k σn 2 logσn 2 r e1n e2n τ1 2 τ2 2 k τ 1 2 r τ 2 2 k r Tn σn εn pn AR ∆rlogσn 2 = e2n , e2n ⬃ N(0,τ2 2 ) (6) ∆k Tn = e1n , e1n ⬃ N(0,τ1 2 ) (5) yn

となります． ところでこの変換後のベクトルx'ですが，要素は何でも良いわけではなく， 変換前のxと大きさが同じでなくては困ります．そのためx'の第一要素は |x|となり，残りがゼロなのですが，符号は融通がききます． というのも，2次元以上ですので第一成分の符号が正だろうが負だろうが ベクトルvを調節すれば条件を満たす超平面が存在できるからです． そのため毎回正でも負でも数学的には問題ないのですが， PCで実装するとなると丸め誤差というものが発生するため ゼロに近い値というのは演算を進めて行くと正確さに欠けてしまいます． ベクトルvを求めるときにxとx'で引き算を行いますので， 第一成分の絶対値がゼロから離れるようにxとx'の第一成分は符号が異なる方が望ましいという訳です． ここでベクトルx，x'を

前章にて、固有値と固有ベクトルの紹介をしました。空間の一次変換に対し、固有ベクトルは大きさが固有値倍されるだけで、向きを変化させることはありません。この性質は様々な分野で利用され、そのため固有値を解くことが非常に重要なものになります。この章では、様々な分野で広く用いられている対称行列の固有値を求めるためのアルゴリズムを紹介したいと思います。 ● 総和(Σ)の記法について 総和は通常、以下のように記述します。 n Σ k (1からnまでの自然数の和) k=1 しかし、HTML形式のドキュメントで表現しようとすると非常に見づらくなるため、ここでは以下のように表現するようにします。 Σk{1→n}( k )

コレスキー分解 行列の分解の話題を続けよう。前項で紹介したLDU分解は、目的の行列Aを正値対称行列に限定すると、さらに扱いやすい形式に持ち込める。まず対称行列ならば、A=Atであって、これがLDU分解できたとしよう。 A=LDU=At=(LDU)t=UtDLt となる、Dは対角行列であるから対称行列でもある。そしてUtは下三角行列、Ltは上三角行列となっている。LDU分解が一意であるなら、 U=Lt,　 Ut=L が得られるから、 A=LDLt とできる。これを行列Aの（修正）コレスキー分解という。 この分解についてはLDU分解のとおりなので特段なことはないだろう。上三角行列、下三角行列の積の形式保存についてのあれこれを前項で述べたが、対角行列についても具体的に紹介しておこう。対角行列の積はもとの行列の形式を保存することはよいだろう。対角行列D、 D1=(c11 0 0 )

This paper is available as a PDF document. You can download the free Adobe Acrobat viewer here. We also maintain a collection of other interesting Kalman filter links. Return to Greg Welch's Kalman filter page. Return to Greg Welch's home page Last modified: Thursday, March 8, 2007

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