PとNPとNP完全とNP困難 - 大人になってからの再学習
計算複雑性の話の中で、P、NP、NP完全、NP困難というキーワードが登場する。 それぞれの違いを、字面だけから判断するのは、少し無理そう。 それで、詳しい説明を Wikipedia に求めると・・・。 ・P（Wikipedai） ・NP（Wikipedai） ・NP完全（Wikipedai） ・NP困難（Wikipedai） 大学などで正確な定義を学習していない場合には、軽く絶望することになる。 そこで、厳密ではないことをあらかじめ断ったうえで、これらを簡単に説明してみる。 （証明されていないが、前提としてNP≠P とする。これが証明できたら100万ドルもらえる。） まず、それぞれの関係は下図のように表すことができる。 図では、上のものほど難しい問題で「P≦NP≦NP完全≦NP困難」と言うことができる。 さらに次のことが言える。 ・ P は現実的な時間で解を求めることができる問題。 ・ N
【1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12 を分かったつもりになりたい】 1 + 2 + 3 + 4 + … が -1/12 となると聞いたとき、たいへん驚きました。…
【1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12 を分かったつもりになりたい】 1 + 2 + 3 + 4 + … が -1/12 となると聞いたとき、たいへん驚きました。 http://ja.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4%2B%E2%80%A6 そこで質問(a)(b)です。 質問(a) 「この数式が成り立つ」理由は？ [1] 「足す」の意味が、普通の数学と違う [2] = の意味が、普通の数学と違う [3] 1,2,3、もしくは -1/12 の意味が、普通の数学と違う [4] 無限を扱うと、この程度の不思議さは当たり前にある [5] これが成り立つのは普通の数学ではない、特殊な数学である [6] [1]～[5]のどれでもない 質問(b) この不思議さと同等の不思議さを、自分でもわかるような数学の例に置き換えて説明してください。 たとえば回答例です。
算数、数学の宿題を爆速で終わらせる「Microsoft Mathematics」を紹介する - しがない学生の雑記
こんばんは。艦これのメンテが伸びてしまったのでTwitterをダラダラ見ていたら、こんなソフトが紹介されていました。 Download Microsoft Mathematics 4.0 (英語) from Official Microsoft Download Center （英語）とか書かれていますけど、ページに行けば普通に日本語版がダウンロードできます。 試しに起動してみたんですが、こいつが相当にすごい。数学のソフトで無料のものと言ったら、自分が知ってるものではscilabとかfunctionViewとかぐらいしかなかったんですが、このMicrosoft Mathematicsは数学の宿題を消すために生まれてきたかのようなソフトです。 たとえば、とても簡単な例として、ｘを０～１で定積分を求めると、 こんな感じで回答が出るんですが、注目すべきはこの中央の「解法」ってところです。試しに押
大学の「数論」（初等整数論と，代数的数論）の講義ノートPDF。独学用のオンライン参考書 - 主に言語とシステム開発に関して
講義ノートの目次へ 大学の数学で勉強する，数論（Number Theory）の入門に役立つPDF。 （１）整数を扱う初等整数論と， （２）群・環・体を使った代数的数論（Algebraic number Theory） の２つに分類。 前者は，いわゆる「整数問題」というやつの体系と思ってよい。 後者はもっと本格的で，「代数的な数」を扱い，自然な流れでガロア理論が出てくる。 ※群・環・体（抽象代数学）の知識は，こちらのノートで学ぶとよい。 ※数論の続きは，リーマン・ゼータ関数のノートで学ぶとよい。 （１）初等整数論・数論入門の講義ノート しっかり学べる教科書PDF： 数論入門 April 28, 2011 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~ybaba/... 大阪教育大，６４ページ。 1.自然数について 2.数学的帰納法，整列原理 3.整除法 4.約数，倍数 5.ユ
『ゲーデル、エッシャー、バッハ』はスゴ本
一生モノの一冊。 「スゴ本＝すごい本」の何が凄いのかというと、読んだ目が変わってしまうところ。つまり、読前と読後で世界が変わってしまうほどの本こそが、スゴ本になる。もちろん世界は変わっちゃいない、それを眺めるわたしが、まるで異なる自分になっていることに気づかされるのだ。 『GEB（Godel, Escher, Bach）』は、天才が知を徹底的に遊んだスゴ本。不完全性定理のゲーデル、騙し絵のエッシャー、音楽の父バッハの業績を"自己言及"のキーワードとメタファーで縫い合わせ、数学、アート、音楽、禅、人工知能、認知科学、言語学、分子生物学を横断しつつ、科学と哲学と芸術のエンターテイメントに昇華させている。 ざっくりまとめてしまうと、本書のエッセンスは、エッシャーの『描く手』に現れる。右手が左手を、左手が右手を描いている絵だ。「手」の次元で見たとき、どちらが描く方で、どちらが描かれている方なのか、
線形代数（行列論と抽象線形代数学）の講義ノートPDF。演習問題と解答付き - 主に言語とシステム開発に関して
講義ノートの目次へ 大学で学ぶ数学の，１年次分の線形代数を，独学でも入門・学習できるようPDF教科書を収集。 行列論の入門から始め， 逆行列 固有値 対角化・2次形式 などを扱い，線形空間の議論に進んでゆく。 そして線形空間の議論では「抽象線型代数」が扱われ， 正規直交基底 内積・ノルム などを学ぶが，これは量子力学や関数解析などの応用分野で必須の前提知識だ。 Web上で無料で閲覧できるリソースを集めた。演習問題と解答を含む。 下記の３つに分けてリンクを記載。 （１）行列論 （２）抽象線形代数 （３）その他 なお，微積分（解析学）の講義ノートPDFはこちら。 また，群・環・体など代数学の続きのノートはこちら。 （１）行列論 行列をテーマに線形代数を論じているノート。線形空間の話も一部含んでいる。 ページ数が多いPDF： 線型代数学入門 - lin_alg.pdf http://www.ma
「数学の概念」を視覚的かつ美しく表現したグラフィックいろいろ
「数学の美しさ」というものは、数学を深く理解することで初めて得られる感覚と言われます。美しさが伝わると数学嫌いも少しはマシになるのかもしれませんが、数学嫌いの人にはそもそも美しさを伝えることができないということで、歯がゆい思いをしている数学愛好家は多いもの。そんなときに便利な、「数学の概念」を視覚的に理解できるグラフィック集は以下の通りです。 soft question - Visually stunning math concepts which are easy to explain - Mathematics Stack Exchange http://math.stackexchange.com/questions/733754/visually-stunning-math-concepts-which-are-easy-to-explain ◆01：奇数の和 奇数の和が平方数にな
2つのボールをぶつけると円周率がわかる - 大人になってからの再学習
一か月ほど前に New York Times で紹介されていた記事。 The Pi Machine - NYTimes.com ここで紹介されているのは、なんと驚くべきことに、2つのボールをぶつけるだけで円周率（3.1415...）の値がわかる、という内容。 これだけだと、全然ピンとこないと思うので、もう少し詳しく説明すると、次のようなことが書かれている。 ↓2つのボールを、下の図ように壁と床のある空間に置く。 ↓その後、壁から遠い方のボールを、他方に向かって転がす。 後は、ボールが衝突する回数をカウントするだけで、円周率がわかるらしい。 これでも、なんだかよくわからない。 まず2つのボールが同じ質量である場合を考えてみよう。 まず、手前のボールが他方のボールにぶつかる（これが1回め）。 続いて、ぶつかったボールが移動して壁にぶつかる（これが2回め）。 壁にぶつかったボールが跳ね返ってきて
400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される
4つ以上の平面に囲まれた立体を「多面体」と呼び、中でもすべての面が合同の正多角形で構成される「正多面体」は最も美しい対称性をもつ立体で、正四面体など5種類しかないことが知られています。この正多面体の亜種として、要件を緩和することで対称性を持つ多面体が考え出されてきましたが、実に400年ぶりに新しい対称性多面体がアメリカの数学者によって考案されました。 After 400 years, mathematicians find a new class of solid shapes http://theconversation.com/after-400-years-mathematicians-find-a-new-class-of-solid-shapes-23217 「正多面体」(通称、プラトンの立体)は、すべての面が合同な正多角形で構成され、すべての頂点で同じ数の面が接する立体で、正四
1005 夜 | 松岡正剛の千夜千冊
子供に算数を教える。やってみたことはないのだが、ぼくのような門外漢がやってみるとすれば、この仕事には「やんちゃ」を感じさせるものがあって、何か誘われるものがある。たとえば、古代アテネのまぶしい日差しや「読み書き・そろばん」に励む寺子屋の子供たちの弾む声が蘇ってくるような、そんな予想的な印象だ。 子供と数学というと、日本では水道方式から公文式の算数ドリルまで、数々の算術指南が試みられてきて、それなりの成果をあげてきた。なんといっても、読み書き、かつ、そろばん、であって、算術がなければ何も始まらない。実際にも、どこの国においても算数や数学は、国語とならぶ学習の基本であることはまちがいがない。第799夜でのべたように、ソクラテス＝プラトン＝アリストテレスに一貫した「マテーシスはアナムネーシスである」というテーゼは「学習は想起である」という意味であるが、そのマテーシスこそは万国共通のマテマティクス
三角関数も進化する - hiroyukikojima’s blog
今年初めてのエントリーは、三角関数の進化型の解説をしようと思う。 その前に、まずは、近況をいくつか。 新年早々嬉しかったのは、新著『数学的決断の技術〜やさしい確率で「たった一つ」の正解を導く方法』朝日新書が、刊行１ヶ月を待たず増刷が決まったことである。これで、昨年刊行した３冊の本は全部が増刷を勝ち取った。 数学的決断の技術 やさしい確率で「たった一つ」の正解を導く方法 (朝日新書) 作者: 小島寛之出版社/メーカー: 朝日新聞出版発売日: 2013/12/13メディア: 新書この商品を含むブログ (10件) を見る多くの人に本書が読まれることの何が嬉しいかって、それは、この本がまさにぼくの専門である「意思決定理論」のどんぴしゃ・ど真ん中の本だからだ。ぼくがこの分野に興味を持ったのは、経済社会における様々な不条理や不平等や不公正は、人々の「意思決定」のありかたに起因するのではないか、と考えた
数学の歴史上の人物で、なぜ女性はいないの？
こんばんは、ご閲覧ありがとうございます。 連休を利用して、大きな書店や学校、私立、県立の図書館に いくつか書籍を読みあさっていました。 そこで、疑問なのですが 数学の歴史上の人物で、なぜ女性はいないのですか？ ユークリッド、アルキメデス、デカルト、ニュートン、ライプニッツ オイラー、ガウス、ガロア、コーシー、… みんな男性ですね。 なぜでしょうか？ よろしくお願いします。 ちなみに、読んでいる本は 「数学を築いた天才たち 上・下」 著 スチュアート・ホリングデール / 監訳 岡部恒治 「数学入門 上・下」著 遠山啓 「微積分の歩んだ道」著 安倍 ソフィー・ジェルマンは私が好きな女性数学者です。アルキメデスの、数式を地面に展開することに夢中になるあまり、侵略してきた兵士に気付かず殺された逸話を聞いて「それほどおもしろい学問なら、私もやってみたい」というのが数学者を目指した動機だったとか。独学
フーリエ変換の本質
工学系の大学生なら、２回生ぐらいで習うフーリエ変換。フーリエ級数やらフーリエ展開やらの式だけ覚えさせられて、フーリエ変換の意味を理解してない人が多いようです。 そこで、フーリエ変換とは何か？をサクっと説明してみましょう。 全ての信号は、上図のようにsin波の足しあわせで表現することが出来ます。 具体的には、周波数が1のsinxと周波数が2のsin2xと周波数が3のsin3xと・・・周波数がnのsinnxを足し合わせることで、あらゆる信号を表現することが出来るのです。 しかし、ただ単にy=sinx+sin2x+sin3x+・・・としたのでは1種類の信号しか表現できません。そこで、各周波数の振幅を変化させることで、あらゆる信号を表現するのです。 上記の信号の場合、y=4*sinx+0.5*sin2x+2*sin3x+sin4xと表現できます。 さて、先程の図を用いて、周波数を横軸に、振幅の大き
人生にある罠としての「線形代数と群の表現Ⅰ」
文系から見て謎な理系単語は幾つもあるが、その一つに「群」があると思う。歴史はガロアにまで遡るので浅くは無いが、社会科学分野では広く利用されているとは言えないので、大半の文系には縁が薄い。しかしSNSで定期的に目にする単語でもある。NHKの「オックスフォード白熱教室 第2回 シンメトリーのモンスターを追え」も群論の話だった。概要ぐらい知りたいところだ。 そういう動機でまず、図解・わかる○○○的な志賀浩二(1989)『群論への30講』を手にとってみた。しかし志賀(1989)は群論の基本的な概念や幾つかの具体的な群を丁寧に説明しているものの、応用につながる議論は薄い。群環と表現の部分も線形代数っぽい話に展開していくような雰囲気を出しつつ、少年ジャンプの連載打ち切り的な展開で終了してしまった。 本格的に群論を学ぶ気は無かったので志賀(1989)に特に不満は無かったが、SNSとは怖いところで『次に読
TechCrunch | Startup and Technology News
Live Nation says its Ticketmaster subsidiary was hacked. A hacker claims to be selling 560 million customer records. An autonomous pod. A solid-state battery-powered sports car. An electric pickup truck. A convertible grand tourer EV with up to 600 miles of range. A “fully connected mobility device” for young urban innovators to be built by Foxconn and priced under $30,000. The next Popemobile. Ov
非政治化された数学のせいで経済学は駄目になった - himaginary’s diary
というブログ記事をヘリオットワット大学のファイナンス数理学者ティム・ジョンソン（Tim Johnson）が自ブログ「Magic, maths and money/The relationship between science and finance」に書き、Economist's Viewでリンクされたほか、Gavin Kennedyが紹介している（原題は「How economics suffers from de-politicised mathematics」。ちなみにKennedyの紹介記事のタイトルは「Mathematical Truths Do Not Make Untrue Assumptions in Economics True」）。 そのエントリでジョンソンは、ゲーデルの不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの挫折と、その後のニコラ・ブルバキ（実体はフランスの数学者グ
これさえあれば数学を楽しく学べる 20の娯楽作品 - 日本経済新聞
勉学の秋。様々な学問の中でも、好き・嫌いがはっきり分かれるのが数学かもしれない。今回は誰もが楽しめて数学の魅力あふれる娯楽作品を「本」「漫画」「映画」の3分野で専門家に選んでもらった。＜本でワクワク＞1位 数の悪魔 ―算数・数学が楽しくなる12夜230ポイント かわいい挿絵、大人でも読み応え 算数が大嫌いな少年ロバートの夢に、「数の悪魔」を名乗る奇妙な老紳士が現れて数の法則の不思議と魅力をゲームなどを通して教えてくれる。「1の不思議」「素数の秘密」など12の数学的テーマを一夜につき一つずつ取り上げて展開していく。 かわいい挿絵が入った童話のような体裁だが、大人でも十分に読み応えがある。「算数、数学を嫌いになる前に読んで、楽しい感覚を習得するのに活用してほしい本」（野沢佳代さん）。 (1)エンツェンスベルガー（著）ベルナー（絵）丘沢静也（訳）(2)晶文社(3)1680円（普及版）
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「文明は農業ではなく、戦争によって発達した」：数学モデルによる歴史分析