コラム 超越方程式 | 江戸の数学代数方程式でない方程式のことを超越方程式と呼びます。 それでは代数方程式とは何かといえば、「多項式=0」の形の方程式のことですが、(x+1)2-(x2+2x+1)=0のような恒等式は方程式とは呼びません。x2+y2=1は代数方程式で、自然数の範囲では解はなく、整数の範囲ではx=±1,y=0または x=0,y=±1が解になります。有理数の範囲では(a,b,c)をa2+b2=c2であるピタゴラス数とするとx=±,y=±が解になるので、解は無限に存在します。実数の範囲では、-1≦x≦1である任意のxについて とすれば、x,yが解になるので、こちらも解は無限に存在します。係数が整数で変数が複数ある方程式の整数解を求める場合、その方程式はディオファントス方程式と呼ばれます。xn+yn=znはｎ≧3の時、x=y=z=0以外の解が存在しないという17世紀のフェルマー予想は1995年にやっと証明されました
