級数の理論をきっちり構築して 複素数の範囲の級数で三角関数や指数関数の類を定義すれば 立派に「導く」ことができますね. 発見的な(まったく厳密ではない)考え方としては cosθ+isinθ=f(θ) とおくと,三角関数の加法定理によって 整数s,tに対して f(st)=f(s)f(t) f(st)=f(s)^t といった「指数法則」が成り立つので, f(x)は何かの指数関数だろうと予測が付くわけです. そこで,f(x)=a^x と表してみるわけです. そして,大胆に微分をしてみると a^x log(a) = f'(x) = (-sin(x)+icos(x)) = i(cos(x)+isin(x)) = if(x) = i a^x なので,log(a)=i すなわち,a=e^{i} これでめでたく e^{ix} = cos(x)+isin(x) と決定できるわけです. #この議論は微分方程式
![【オイラーの公式のeとiについて】 虚数の指数部の意味・感覚を掴みたい - OKWAVE](https://cdn-ak-scissors.b.st-hatena.com/image/square/a3202632a5b19efa6d7dbcca644fc13bfa3453dc/height=288;version=1;width=512/https%3A%2F%2Fgazo.okwave.jp%2Fokwave%2Fspn%2Fimages%2Flogo%2Ffacebook_okwave.jpg)