固有値
概要 2006年度前期輪講で発表した内容にそって説明を書く予定。 行列の、座標変換によって不変な性質を調べる。 座標変換によって不変な特徴量があるならば、その量こそが行列の本質を表す量なのではないか。 英語だとまさに、characteristic value、行列の“特性”値。 ちなみに、eigen はドイツ語起源の接頭語。 （英語だと own、「自分自身の」「自身に固有の」という感じの意味。 発音もドイツ語的にアイゲン。 というか、ドイツ語起源なので英語圏の人でも読めない場合があって、 エイジャンとかアイジャンとか読む人も。） 固有値の「固有」は「eigen」の訳語。 対角化、Jordan 標準形 行列の冪計算、指数計算 相似変換 「線形写像」で説明しましたが、 線形写像を行列で表すとき、 線形空間の座標系の取り方によって行列の形が変わります。 となると、線形写像の性質は、座標系の取り方
素数の間隔
目次 次 素数の間隔(1) prime gaps 素数の間隔の平均値を表す近似式を求める。更に素数の間隔の規則性を調べ、そのグラフが良く知られた図形と非常に似ていることを示す。 連続する2つの素数PnとPn+1の間隔を差のPn+1-Pn として、x=Pn+1 のときy=Pn+1-Pn を考える。最初の1,000個の素数を使用して、x軸を対数目盛とした間隔のグラフは次の通り。 間隔の平均値を求めると次のグラフになる。素数定理より平均値はおよそln x であるが、更に正確には(ln x)/(1-1/(2√x)) あるいはそれに近い式 (ln x)(1+1/(2√x)) が実際と合うようだ。「平方数間の素数の個数(1)」を参照。 冒頭のグラフを見ても規則性は想像しにくい。そこで密度差をよりわかり易くするために点を小円に変更してみる。すると黒い塊が下側にあり上や斜めに泡が出ている
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ポアンカレ予想 - Wikipedia
予想の提唱者アンリ・ポアンカレ （3次元）ポアンカレ予想（ポアンカレよそう、Poincaré conjecture）とは、数学の位相幾何学（トポロジー）における定理の一つである。 3次元球面の特徴づけを与えるものであり、定理の主張は 単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S3 に同相である というものである[2][3]。2014年現在まで7つのミレニアム懸賞問題のうち唯一解決されている問題である。 ポアンカレ予想は各次元で3種類（位相、PL、微分）があり、かなり解けているが 「4次元微分ポアンカレ予想」「4次元PLポアンカレ予想」「高次元微分ポアンカレ予想の残り少し」は未解決である。 これらは非常に重要な問題である[4][5][6]。 概説[編集] 図のトーラス上の2色のループは双方共に1点に収縮できない。よってトーラスは球と同相では無い。 ポアンカレ予想は、1904年にフランスの数学者アン
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