単関数 - Wikipedia
数学の実解析の分野における単関数（たんかんすう、英: simple function）とは、実数直線の部分集合上の（十分に「良い」 - 正式な定義は下節を参照）実数値関数で、有限個の値しか取らないものをいう。 しばしば加えて、単関数は可測であることが要求されることもある。 基本的な単関数の一例として、半開区間 [1,9) 上で定義された床関数が挙げられる（これは {1,2,3,4,5,6,7,8} のいずれかの値しか取らない）。 より発展的な例として、実数直線上のディリクレ関数は、有理数に対しては 1 となり、その他の値に対しては 0 となる（すなわち「単関数」が「単純」であるというのは、技巧的な意味合いにおいてであって、一般的な話し言葉とは幾分食い違いがある）。また、すべての階段関数は単関数であることにも注意されたい（任意の単函数を階段函数と呼ぶ場合もある[1]）。 単関数は、ルベーグ積
ときわ台学/ルベーグ積分/講義ノート目次
2023/03/13 目次の配列を変更しました。 (仮） 第１部 ルベーグ積分 １ ルベーグ流の面積 ２ 集合の濃度(基数) ３ ルベーグ測度と零集合 ４ カラテオドリの外測度 ５ ボレル集合体 ６ ルベーグ積分の定義（その１） ７ 上・下極限集合とファトゥーの補題 ８ 測度空間と可測関数 ９ ルベーグ積分の定義（その２） 10 ルベーグの収束定理 第２部 測度論 つづく ・・・・ Appendix 1 対角線論法 Appendix 2 集合族と濃度の計算 Appendix 3 距離空間 Appendix 4 完備 Appendix 5 位相空間１ 可算公理 Appendix 6 位相空間２ 分離公理 SUSTAINABLE TOKIWADAIGAK SINCE 2002
ルベーグ測度 - Wikipedia
数学におけるルベーグ測度（ルベーグそくど、英: Lebesgue measure）は、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「互いに素な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質（加法性）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として ∞ をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、 Rn の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを選択公理によって証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベー
ルベーグ積分 - Wikipedia
正値関数の積分は曲線の下部と軸で囲まれた部分（図の青く塗られた部分）の面積と解釈できる。 数学において、一変数の非負値関数の積分は、最も単純な場合には、その関数のグラフと x 軸の間の面積と見なすことができる。ルベーグ積分（ルベーグせきぶん、英: Lebesgue integral）は、積分をより多くの関数へ拡張したものである。ルベーグ積分においては、被積分関数は連続である必要はなく、至るところ不連続でもよいし、関数値として無限大をとることがあってもよい。さらに、関数の定義域も拡張され、測度空間と呼ばれる空間で定義された関数を被積分関数とすることもできる。 数学者は長い間、十分滑らかなグラフを持つ非負値関数、例えば有界閉区間上の連続関数、に対しては、「曲線の下部の面積」を積分と定義できると理解しており、多角形によって領域を近似する手法によってそれを計算した。しかし、より不規則な関数を考える
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