固有ベクトルが直交するのは - 小人さんの妄想
線形変換において、固有ベクトルが直交するのは、その線形変換を表す行列が対称行列（複素数ならエルミート行列）となっていたときである。 これは線形代数の肝だと思うのですが、なぜそうなるのか、直感的なイメージを思い描くのは簡単ではありません。 そこで、２ｘ２の実対称行列に限定して、固有ベクトルが直交するイメージを描いてみました。 まずは線形代数の復習から。 平面上に描いた図形の、拡大、縮小、回転、反転、平行四辺形への変形は、２ｘ２の行列で表すことができます。（ただし、図形の平行移動は扱わないことにします） 平面図形の変形とは、要するに方眼紙上の１個の正方形を、どのような形にもってくるか、ということです。 この図は、正方形の横を表すベクトル(1,0)を(a,c)に、縦を表すベクトル(0,1)を(b,d)に変形した様子です。 このように a, b, c, d ４つの数字でもって、正方形がどのように形
数学用語集：TOMAC（数学能力検定試験）
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楕円の面積
この証明は、通常、微分積分を用いて次のようになされる。 求める面積を Ｓ とすると、 上式の定積分の計算は、置換積分を用いてもいいが、軽妙に「四分円の面積」から求め る方が多数だろう。 また、この楕円は、半径 ａ の円を ｙ 軸方向に ｂ/ａ 倍縮小して得られるという性質を用い て、 πａ2×ｂ/ａ ＝ πａｂ としても得られる。最も、この計算は、上記の定積分の計算が背景に存在する。 何れにしても、楕円の面積の公式は、微分積分を根拠にしている。 この問題について、関 孝和（1642？～1708）は、著書「求積」で、微分積分によらない楕 円の面積の公式の証明を与えている。 左図は、半径 ｂ の円を底面とする円柱を、Ａ、Ｂ を通る平面 で切断したときの切り口を表したものである。 このときの円柱の高さを、ｈ（＝ＡＣ）とすると、円柱の体積は、 πｂ2ｈ である。 ＡＢ＝２ａ とすれば、切り口は、長
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物理数学ハンドブック Ver. 0.17.4