13 自由モノイド｜プログラマのための圏論 (執筆中)
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マグマ (数学) - Wikipedia
マグマは集合 M と、M のどの二元 a, b に対しても μ(a, b) で表される別の元を対応させる二項演算 μ を対として考える。集合と演算の対 (M,μ) がマグマと呼ばれるためには、マグマの公理として知られる条件 演算について閉じていること: M の任意の元 a, b に対して、その二項演算 μ の演算結果 μ(a, b) が再び M に属する。 を満足しなければならない。演算が明らかで紛れの虞の無いときは演算の記号を落として台集合の記号のみによってマグマ M などという。しばしば二項演算 μ はマグマ M における乗法とも呼ばれ、このときの演算結果 μ(a, b) はa と b との積という[* 1]。また、誤解の虞が無いならば積 μ(a, b) は演算記号を省略してしばしば ab と書かれる。演算記号が省略されている場合に、マグマが台集合と演算の対であることを明示するにはプレ
自由モノイド - bitterharvest’s diary
４．自由モノイド 圏論では、普遍性という概念はとても大切である。普遍性は、その言葉が示すように、数学の多くの分野で共通する性質を示したものである。前の記事で説明した極限と余極限も広い分野での共通の性質であるため、圏論での重要な普遍性の一つとなっている。ここでは、普遍性のさらなる例として自由モノイドを説明する。 ４．１ 自由モノイドの定義 加算や乗算などの二項演算子を用いて計算されるものはモノイドと呼ばれる。モノイドについても普遍性を考えることができる。それは自由モノイドと呼ばれるものだ。これを説明するために、モノイドについて、まずは、集合論での定理から始めてみよう。 １）集合論での定義 集合論でのモノイドは、ある集合\(M\)に対して、 1) 二項演算子\(\mu\)が存在し、\(\mu : M \times M \rightarrow M\)である。 2) 単位律が成り立つ。即ち、単位元
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