三辺の長さが a, b, ca,\:b,\:ca,b,c の三角形の外接円の半径を RRR , 面積を SSS とおくとき以下の美しい関係が成立する。 S=abc4RS=\dfrac{abc}{4R}S=4Rabc
平面図形 | 高校数学の美しい物語
三辺の長さが a, b, ca,\:b,\:ca,b,c の三角形の外接円の半径を RRR , 面積を SSS とおくとき以下の美しい関係が成立する。 S=abc4RS=\dfrac{abc}{4R}S=4Rabc
オイラーの定理（内心と外心の距離）とオイラーの不等式の証明を3通りずつ | 高校数学の美しい物語
図で MMM は AIAIAI と外接円の交点，DDD は OMOMOM と外接円の交点，NNN は ABABAB と内接円の接点，PPP と QQQ は OIOIOI と外接円の交点である。 (R−d)(R+d)＝PI×IQ＝AI×IM・・・（1）＝AI×BM・・・（2）＝DM×NI・・・（3）＝2Rr(R-d)(R+d) ＝PI×IQ\\ ＝AI×IM・・・（1）\\ ＝AI×BM・・・（2）\\ ＝DM×NI・・・（3）\\ ＝2Rr(R−d)(R+d)＝PI×IQ＝AI×IM・・・（1）＝AI×BM・・・（2）＝DM×NI・・・（3）＝2Rr この式を整理するとオイラーの定理を得る。ただし， （1）への変形は，方べきの定理から （2）への変形は， ∠BIM＝∠BAM＋∠ABI＝∠MAC＋∠IBC＝∠MBC＋∠IBC＝∠IBM∠BIM＝∠BAM＋∠ABI\\＝∠MAC＋∠IBC\\＝
ラマヌジャンのタクシー数 | 高校数学の美しい物語
222 以上の整数 mmm，nnn は m3+13=n3+103m^3 + 1^3 = n^3 +10^3m3+13=n3+103 を満たす。mmm，nnn を求めよ。 与式を変形すると m3−n3=103−13=999 m^3 - n^3 = 10^3 - 1^3 = 999 m3−n3=103−13=999 となる。因数分解すると (m−n)(m2+mn+n2)=33×37 (m-n)(m^2 + mn + n^2) = 3^3 \times 37 (m−n)(m2+mn+n2)=33×37 となる。 m−n=km-n = km−n=k とおく。このとき m2+mn+n2=3n2+3kn+k2 m^2 + mn + n^2 = 3n^2 + 3kn + k^2 m2+mn+n2=3n2+3kn+k2 となる。 k=1,37k = 1,37k=1,37 の場合，3n2+3kn+k23n^
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