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複利に関するamoriのブックマーク (3)

72の法則 - tkenichi の日記
昨日の日記に書いた「珠玉のプログラミング」にも出てくる話で思い出したこと。 72の法則というのは、複利計算で年利 r% のときに、72/r 年で約2倍になるという近似計算の話。まあ、これを複利計算の定義だと勘違いしていた学生もいたけど。 0.1% では約2.05倍になるし、10%では約1.98倍。30%では約1.88倍だから近似としては悪くない。実際の金利計算としては、10%以上になることは考えられないから。これは lim(x→0) (1+x)1/x がネピア数(約2.71828)に結構早く収束する、という事実を使っている。72 という数字は、(1+r/100)a/r = 2 となるような a ということ。実際に左辺を (1+r/100)100/r・a/100 ≒ ea/100で近似すれば ea/100 = 2 を解いて、a = 約69.3147 となる。なので、 r が十分 0 に近い
amori 2007/02/26
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小川創生＠旧・檸檬の家: 複利計算の近似値暗算手法「72の法則」にみる検算と数学の大切さ
いま、日本でおそらくもっとも人気の高いソーシャルブックマークのはてなブックマークでは、「ITmedia Biz.ID：複利計算を“暗算”で行う」という記事が300近いブックマークを集めている。その記事の内容は、複利計算における、「72の法則」と呼ばれる暗算可能な近似計算手法の紹介である。たとえば金利4%だとして、元金が2倍となるのは何年後か知りたいとする (税金は考慮しない)。単利なら25年後 (100 ÷ 4) とすぐに暗算できるが、複利では簡単に暗算できないように思える。ところが、72を金利 (%) で割って、72 ÷ 4 ＝ 18年、というように近似計算できるというのが、「72の法則」である。試しに表計算ソフトの Excel を使って正確な期間を検算すると約17年8か月後 (年単位の複利とし、月単位は12分の1の単利で計算) となった。確かに近似計算できている。正直言って私は「
amori 2007/02/26
複利計算近似法についてのつっこみ。けどこちらも結局に中途半端

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ITmedia Biz.ID：複利計算を“暗算”で行う
もし100万円を12％の金利で預けた場合、6年経つと資産は約200万円……。こんな、資産運用や借金の概算をざっくり暗算する方法を紹介しよう。投資をしようと思い立ったり、家を買うなど借金をしたりするときに、必ずついて回るのが複利計算だ。5％の金利であっても、その利子についてさらに利子がつくことで、資産や借金の額が急速に大きくなることを“複利”という。普通に考えれば、100万円に最初の1年で5％の利子がついて105万円。2年目は105万円に5％の利子がついて、110万2500円、3年目は110万2500円に……という計算になる。電卓でも（金融電卓でない限り）同じように計算しなくてはならず、面倒なことこの上ない。ただしいわゆる“投資”をかじったことのある人なら、「72の法則」を聞いたことがあるだろう。これは、72を利率のパーセントで割ると、資産や借金が2倍になる年数が分かるというものだ。例
amori 2007/02/24
近似式展開をまじめにやると：　(1+r)^N=S　の両辺の自然対数をとって　N=ln(S)/ln(1+r) 、分母を一次近似でN=ln(S)/ar r=8%の時　a=0.962で ln(S=2)/a　≒0.72となり、N=0.72/r。　７２は割りやすい数字なのがミソ

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