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階乗，二重階乗，超階乗 | 高校数学の美しい物語
階乗の定義と記号正の整数 nnn に対して，111 から nnn までの整数を全てかけあわせたものを nnn の階乗（かいじょう，英語ではファクトリアルfactorial）と言い，n!n!n! で表します。階乗を表す記号は !（エクスクラメーションマーク）です。 1!=11!=11!=1 2!=2×1=22!=2\times 1=22!=2×1=2 3!=3×2×1=63!=3\times 2\times 1=63!=3×2×1=6 4!=4×3×2×1=244!=4\times 3\times 2\times 1=244!=4×3×2×1=24 5!2!=5×4×3×2×12×1=5×4×3=60\dfrac{5!}{2!} = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times
crayzic 2022/09/17
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nのn乗根の最大項と極限 | 高校数学の美しい物語
nn=n1n\sqrt[n]{n}=n^{\frac{1}{n}}nn=nn1 だが，指数部分に文字があるので，対数を取って式を扱いやすくする： log⁡nn=log⁡n1n=log⁡nn\log\sqrt[n]{n}=\log n^{\frac{1}{n}}=\dfrac{\log n}{n}lognn=lognn1=nlogn そこで，以後は f(x)=log⁡xxf(x)=\dfrac{\log x}{x}f(x)=xlogx という関数を考える。すると，上記の性質1は lim⁡x→∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=0x→∞limf(x)=0 （※）と同値。これは「多項式は対数関数より早く発散する」という事実から明らか。 ※をきちんと証明するなら例えば，まず ex≥1+x+x22e^x\geq 1+x+\dfra
crayzic 2022/02/05
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log2に収束する交代級数の証明 | 高校数学の美しい物語
1−12+13−14+⋯=∑k=1∞(−1)k−1k=log⁡21-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\log 21−21+31−41+⋯=k=1∑∞k(−1)k−1=log2 ニュートンメルカトル級数とも呼ばれる有名な無限級数です。分数を交互に足し引きしてくと，log⁡2=0.693⋯\log 2=0.693\cdotslog2=0.693⋯ になります。 log⁡2\log 2log2 が出てくるのが美しいですね。
crayzic 2019/06/02
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高校数学の美しい物語 | 定期試験から数学オリンピックまで800記事
∣x∣<1|x| < 1∣x∣<1 なる実数 xxx について， arcsin⁡x=x+16x3+340x5+⋯arccos⁡x=π2−x−16x3−340x5−⋯\begin{aligned} \arcsin x &= x + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{3}{40} x^5 + \cdots\\ \arccos x &= \dfrac{\pi}{2} - x - \dfrac{1}{6} x^3 - \dfrac{3}{40} x^5 - \cdots \end{aligned}arcsinxarccosx=x+61x3+403x5+⋯=2π−x−61x3−403x5−⋯ となる。この記事では逆三角関数のうち逆正弦関数（arcsin⁡\arcsinarcsin）と逆余弦関数（arccos⁡\arccosarccos）のマクローリン展開を計算します
crayzic 2015/08/04
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