統計学で用いる行列演算の小技 - Qiita
はじめに 千葉大学・株式会社Nospareの川久保です．今回は，統計学（特に多変量解析）で多く出てくる行列演算の小技集を，線形回帰モデルにおける簡単な実用例を交えて紹介します． 転置に関する公式 行列の転置とは，$(i,j)$要素を$(j,i)$要素に入れ替えることです．$m$行$n$列の行列$A$の$(i,j)$要素を$a_{ij} \ (i=1,\dots,m; j=1,\dots,n)$とすると，$A$を転置した$n$行$m$列の行列$A^\top$の$(j,i)$要素が$a_{ij}$となります．また，自明ですが，転置行列の転置は元の行列になります．すなわち，$(A^\top)^\top = A$です． 行列の和の転置 行列$A$と$B$の和の転置は，転置行列の和です．つまり， が成り立ちます． 行列の積の転置 次に，行列$A$と$B$の積$AB$の転置としては，以下の公式が成り立
Sherman–Morrison formula - Wikipedia
In linear algebra, the Sherman–Morrison formula, named after Jack Sherman and Winifred J. Morrison, computes the inverse of a "rank-1 update" to a matrix whose inverse has previously been computed.[1][2][3] That is, given an invertible matrix and the outer product of vectors and the formula cheaply computes an updated matrix inverse The Sherman–Morrison formula is a special case of the Woodbury fo
Bhattacharyya distance - Wikipedia
In statistics, the Bhattacharyya distance is a quantity which represents a notion of similarity between two probability distributions.[1] It is closely related to the Bhattacharyya coefficient, which is a measure of the amount of overlap between two statistical samples or populations. It is not a metric, despite being named a "distance", since it does not obey the triangle inequality. History[edit
ハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式 - Wikipedia
ハミルトン-ヤコビ-ベルマン(HJB)方程式（ハミルトン–ヤコビ–ベルマンほうていしき、英: Hamilton–Jacobi–Bellman equation）は、最適制御理論の根幹をなす偏微分方程式である。 その解を「価値関数(value function)」と呼び、対象の動的システムとそれに関するコスト関数(cost function)の最小値を与える。 HJB方程式の局所解は最適性の必要条件を与えるが、全状態空間で解けば必要十分条件を与える。解は開ループ制御則となるが、閉ループ解も導ける。以上の手法は確率システムへも拡張することができるほか、古典的変分問題、例えば最速降下線問題も解くことができる。 HJB方程式は1950年代のリチャード・ベルマンとその共同研究者を先駆とする「動的計画法(Dynamic programming)」理論の成果として得られた[1]。その離散時間形式は通常「
ローラン多項式 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。 出典検索?: "ローラン多項式" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2009年7月） 数学におけるローラン多項式（ローランたこうしき、英: Laurent polynomial; 形式ローラン多項式）は、ピエール・アルフォンス・ローランに名を因む、与えられた体に係数を持つ不定元の正冪および負冪たちの線型結合を言う。 X を不定元とする体 F 上の（一変数）ローラン多項式全体の成す集合 F[X, X−1] は、ローラン多項式環と呼ばれる環を成す[1]。通常の多項式と異なり、ローラン多項式は次数がマイナスの項を持つことに注意する。一変数ローラン多項式の構成を再帰的に繰り返す
フビニの定理 - Wikipedia
この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です。適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2022年10月） 数学においてフビニの定理（フビニのていり、英: Fubini's theorem）とは、Guido Fubini (1907) によって導入された、逐次積分による二重積分の計算が可能となるための条件に関する一結果である。すなわち、次のような計算が可能となる。 この結果、積分の順序（英語版）は逐次積分において変えることが可能となる。フビニの定理は、ある二変数函数が可積分であれば、上記のような二回の繰り返しの積分は等しいことを意味する。Leonida Tonelli (1909) によって導入されたトネリの定理（Tonelli's theorem）も同様のものであるが、その定理が適用される函数は可
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特性関数 (確率論) - Wikipedia
性質[編集] 確率変数の特性関数は、測度が有限な空間上の有界な連続関数の積分であるため、常に存在する。 特性関数は空間全体について一様連続である。 ゼロ付近では根を持たない (φ(0) = 1)。 有界である (|φ(t)| ≤ 1)。 エルミート関数である（φ(−t) = φ(t)）。原点を中心として対称性のある確率変数の特性関数は実数関数であり偶関数である。 累積分布関数と特性関数の間には全単射が存在する。すなわち、2 つの任意の確率変数 X1 と X2 について、次が成り立つ： 確率変数 X に最大 k-次のモーメントがある場合、その特性関数 φX は実数直線全体について k 階連続微分可能である。このとき、次が成り立つ： 特性関数 φX がゼロにおいて k 階の導関数を持つなら、確率変数 X は k が偶数なら最大で k-次のモーメントを持つが、k が奇数なら最大で k − 1-次
ラドン＝ニコディムの定理 - Wikipedia
数学におけるラドン＝ニコディムの定理（ラドン＝ニコディムのていり、英: Radon–Nikodým theorem）は、測度論の分野における一結果で、ある可測空間 (X, Σ) が与えられたとき、(X, Σ) 上のある σ-有限測度（英語版） ν が別の (X, Σ) 上の σ-有限測度 μ に関して絶対連続であるなら、任意の可測部分集合 A ⊂ X に対して次を満たす可測函数 f : X → [0, ∞) が存在することを述べた定理である： この函数 f はラドン＝ニコディム微分と呼ばれ、dν/dμ と表記される。 この定理の名は、1913年に空間 RN での特別な場合について証明を与えたヨハン・ラドンと、1930年に一般の場合の証明を与えたオットー・ニコディム（英語版）に由来する[1]。1936年にハンス・フロイデンタールは、この定理を特別な場合として含む、リース空間での一結果
ルベーグ＝スティルチェス積分 - Wikipedia
数学の測度論的解析学周辺分野におけるルベーグ＝スティルチェス積分（ルベーグスティルチェスせきぶん、英: Lebesgue–Stieltjes integration）は、リーマン＝スティルチェス積分および（狭義の、つまりルベーグ測度に関する）ルベーグ積分の一般化で、前者に対してはより一般の測度論の枠組みによる優位性を保つものになっている。ルベーグ＝スティルチェス積分は、ルベーグ＝スティルチェス測度と呼ばれる実数直線上の有界変動函数から得られる測度に関する通常のルベーグ式積分である。ルベーグ＝スティルチェス測度は正則ボレル測度であり、逆に実数直線上の任意の正則ボレル測度はルベーグ＝スティルチェス測度になる。 ルベーグ＝スティルチェス積分（アンリ・ルベーグとトーマス・スティルチェスに因む）は、この積分論に多大な貢献をしたヨハン・ラドンに因んでルベーグ＝ラドン積分若しくは単にラドン積分とも呼ばれ
右連続左極限 - Wikipedia
数学における右連続左極限関数（みぎれんぞくひだりきょくげんかんすう、英: right continuous with left limits, RCLL; 仏: continue à droite, limite à gauche, càdlàg）は、実数直線上で（あるいはその部分集合上で）定義された関数で、至る所右連続（英語版）かつ左極限を持つものを言う。右連続左極限関数は、（連続なパスを持つブラウン運動とは異なり）パスの跳びを許す（あるいは要求する）確率過程の研究において重要である。与えられた定義域上の右連続左極限関数全体の成す集合はスコロホッド空間 (Skorokhod space) と呼ばれる。 これと関連する二つの概念に、左右を入れ替えた左連続右極限関数と、定義域の各点において片側連続片側極限関数がある。 定義[編集] 累積分布函数は càdlàg 函数である。 距離空間 (M,
リプシッツ連続 - Wikipedia
解析学におけるリプシッツ連続性（リプシッツれんぞくせい、英: Lipschitz continuity）は、ルドルフ・リプシッツに名を因む、函数のより強い形の一様連続性である。直観的には、リプシッツ連続函数は変化の速さが制限される。即ち、適当な有限値の実数が存在して、その函数のグラフ上の任意の二点を結ぶ直線の傾きの絶対値はその実数を超えない。この上界をその函数の「リプシッツ定数」（あるいは一様連続度（英語版））と呼ぶ。例えば一階微分が有界な任意の函数はリプシッツである[1]。 微分方程式論において、リプシッツ連続性は初期値問題の解の存在と一意性を保証するピカール–リンデレフの定理の中心的な条件である。リプシッツ連続性の特別な場合で、縮小性はバナッハの不動点定理において用いられる。 実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている[2]: 連続的微分可能
フェンシェルの双対性定理 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "フェンシェルの双対性定理" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2020年1月） 数学においてフェンシェルの双対性定理（フェンシェルのそうついせいていり、英: Fenchel's duality theorem）は、ウェルナー・フェンシェル（英語版）の名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。 ƒ を Rn 上の真凸函数とし、g を Rn を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、 が成り立つ。ここで ƒ * は ƒ の凸共役（フェンシェル＝ルジャンドル変換とも呼ばれる）であり、g * は g の凹共役である
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