写像と重積分とヤコビアン - 大人になってからの再学習
大学に入ってから複数の変数で積分を行う重積分というものを学習する。 重積分を解く際に、変数変換を行った方が簡単な場合があり、そのときに次のような公式が出てくる。 （ (x, y) の式を (u, v) の式に変換した場合） さて、この J(u, v) はなんだろう？ 積分における変数変換とは、別空間へ写像を行って、写像した後の領域で積分を行いましょう。というもの。 写像の前後では空間が伸び縮みするので、その伸び縮み分を打ち消すためにくっついているのが J(u, v) だ。 高校の時には次の変数変換（置換積分）の公式を学習した。 うしろにくっついている x'(t) は何であったかと言うと、これも座標の伸び縮みを打ち消すための値だった。 重積分の場合、扱う空間が2次元または3次元となるので、伸び縮みの表し方が少し複雑になる。 しかし結局、重積分の変数変換の公式にくっついている J(u, v)
ヤコビ行列，ヤコビアンの定義と極座標の例 | 高校数学の美しい物語
微分係数の多変数関数バージョンであるヤコビ行列，およびヤコビアンについて解説します。具体例として，二次元・三次元極座標変換のヤコビアンを求めてみます。 状況設定 xundefined=(x1,x2,⋯ ,xn)⊤\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{\top}x=(x1,x2,⋯,xn)⊤ を決めると yundefined=(y1,y2,⋯ ,ym)⊤\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_m)^{\top}y=(y1,y2,⋯,ym)⊤ が定まる状況（nnn 変数関数が mmm 個あると考えてもよい，nnn 変数の mmm 次元ベクトル値関数と考えてもよい） 各 yiy_iyi は xjx_jxj で偏微分可能 ヤコビ行列の定義 ∂yi∂xj\dfrac{\partial y_i}{\part
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