写像と重積分とヤコビアン - 大人になってからの再学習
大学に入ってから複数の変数で積分を行う重積分というものを学習する。 重積分を解く際に、変数変換を行った方が簡単な場合があり、そのときに次のような公式が出てくる。 （ (x, y) の式を (u, v) の式に変換した場合） さて、この J(u, v) はなんだろう？ 積分における変数変換とは、別空間へ写像を行って、写像した後の領域で積分を行いましょう。というもの。 写像の前後では空間が伸び縮みするので、その伸び縮み分を打ち消すためにくっついているのが J(u, v) だ。 高校の時には次の変数変換（置換積分）の公式を学習した。 うしろにくっついている x'(t) は何であったかと言うと、これも座標の伸び縮みを打ち消すための値だった。 重積分の場合、扱う空間が2次元または3次元となるので、伸び縮みの表し方が少し複雑になる。 しかし結局、重積分の変数変換の公式にくっついている J(u, v)
一般逆行列・ムーア・ペンローズ逆行列 - 大人になってからの再学習
連立方程式を解くために、行列の逆行列が用いられる。 簡単な例として で表されるxとyの関係を行列を使って表せば次のようになる。 ここで , , とすると、最初の式は という線形代数でおなじみの式で表されるから、 両辺にの逆行列をかけて として解が求まる。 つまり、行列Aの逆行列を求めれば解を求めることができる。 今回の例だと、 なので、 となって、 が求まる。 これはグラフに表すと、次のようになって、つまりの二つの直線の交点を求めたことになる。 さて、このように、きれいに連立方程式が解ける場合はいいけど、 現実問題として解が求まらないことは多くある。 ＝＝＝＝＝ ■ 例1) 式が多すぎて解が存在しない。 このような3つの式を満たす解は存在しない。 グラフに表すと次のような感じ。 3つの直線は1つの点で交わらないため、解が無いことがわかる。 ■ 例2) 式が少なすぎて解が1つに定まらない。
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