【定義】（順序としての稠密性）全順序集合\(Y\)とその部分集合\(X\)について、\(a < b\)を満たす\(Y\)の任意の2要素\(a,b\)に対し、\(a < x < b\)なる\(x\in X\)が（そのつど）存在するとき、「\(X\)は\(Y\)において稠密である」という。特に\(Y\)自身が\(Y\)において稠密であることを「\(Y\)は自己稠密である」という。 【定義】（位相としての稠密性）位相空間\(Y\)の部分集合\(X\)が、任意の空でない\(Y\)の開集合と交わるとき、「\(X\)は\(Y\)において稠密である」という。 この条件は下のいずれとも同値である。 ・\(X\)の\(Y\)における閉包が\(Y\)と一致する。 ・\(Y\)の要素はすべて、\(Y\)における\(X\)の触点である。 ・\(Y\)における\(X\)の外点が存在しない。 特に\(Y\)自身が\(

【注意】より一般的な議論を http://y-bonten.hatenablog.com/entry/2015/05/19/030805 で行っているため、このエントリは意義が薄くなっています。 稠密全順序集合に対して、デデキントの切断公理 「任意の切断に対して、その補集合が最小元を持つ」 から、ワイエルシュトラスの公理 「空でなく上界を持つ任意の集合が上限を持つ」 を導く。 ここで「切断」という語を用いる際には、上組や下組が空集合となることを許さず、下組が最大元を持つことを許さないという制限のもと、下組のほうを「切断」と呼ぶ流儀をとる。正確に言えば、稠密な全順序集合\(S\)の部分集合\(L\)で (i)\(\forall x\in L\ \forall y\in S[y\leq x\rightarrow y\in L]\)（下組の任意要素＜上組の任意要素） (ii)\(\forall