ノルムの意味とL1，L2，L∞ノルム | 高校数学の美しい物語
nnn 次元ベクトルは（この記事では）実数を nnn 個並べたものだと考えて下さい。 高校数学で習う2次元ベクトル（平面ベクトル），3次元ベクトル（空間ベクトル）の一般化です。 （実数上のベクトル空間 VVV に対して） 任意の xundefined,yundefined∈V\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in Vx,y∈V と任意の実数 aaa に対して以下の3つの性質を満たす関数 ∥∗∥\|*\|∥∗∥ をノルムと呼ぶ： ∥xundefined∥=0 ⟺ xundefined=0undefined\|\overrightarrow{x}\|=0\iff \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}∥x∥=0⟺x=0 ∥axundefined∥=∣a∣∥xundefined∥\|a\overrightarro
Working with Vectors | Apple Developer Documentation
Use vectors to calculate geometric values, calculate dot products and cross products, and interpolate between values.
【基本】ベクトルの内積となす角 | なかけんの数学ノート
ここでは、ベクトルの成分がわかっているときに、内積からベクトルのなす角を求める方法について見ていきます。 ベクトルの成分しかわかっていません。成分が決まれば向きが決まるので、なす角も決まるはずですが、この2つは直接にはつながりません。しかし、実はベクトルの内積によってつながるんですね。順番に考えていきましょう。 【基本】ベクトルの内積と成分で見たように、ベクトルの成分から内積が出せるのでしたね。 \begin{eqnarray} \vec{a}\cdot\vec{b} &=& 2\cdot3+(-1)\cdot 1=5 \end{eqnarray}となります。 また、【基本】ベクトルの内積で見た通り、内積は、ベクトルの大きさとなす角を使って表すこともできます。なす角を $\theta$ とおけば \begin{eqnarray} \vec{a}\cdot\vec{b} &=& |\vec{
二直線のなす角を求める２通りの方法と比較 | 高校数学の美しい物語
二直線 3x−y=0\sqrt{3}x-y=03x−y=0 と (2−3)x−y=0(2-\sqrt{3})x-y=0(2−3)x−y=0 のなす角 θ\thetaθ を求めよ。 二直線の式は，y=3xy=\sqrt{3}xy=3x と y=(2−3)xy=(2-\sqrt{3})xy=(2−3)x である。 よって，傾きは，m1=3m_1=\sqrt{3}m1=3 と m2=2−3m_2=2-\sqrt{3}m2=2−3 である。 よって，タンジェントの加法定理より， tanθ=m1−m21+m1m2=23−21+3(2−3)=1\begin{aligned} \tan\theta &= \dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\\ &=\dfrac{2\sqrt{3}-2}{1+\sqrt{3} (2-\sqrt{3})}\\ &=1 \end{aligne
数学 - Python - JavaScript - 三角関数、グラフの描画、微分、導関数、二階微分、極値、変曲点、極限( @fmathsecond )ラジオ2さんのツイートより | Kamimura's blog
数学 - Python - JavaScript - 三角関数、グラフの描画、微分、導関数、二階微分、極値、変曲点、極限( @fmathsecond )ラジオ2さんのツイートより
ロボットをスムーズに走らせるシステム制御
P制御の実装 [吉田]分かったような、分からないような。 [舟元]自動車の運転に例えると、前の車と適度な一定の車間を取りながら運転したい場合、車間距離が開いたらそれに合わせてアクセルの踏み込む量を調整するよね？車間が適度な場合はアクセルの状態はそのままにしておくでしょ、これがP制御なんだ。ON/OFF制御の場合は使える車速が100Km/hと0Km/hだけで、車間が開いたら一気に時速100Km/hにして、車間が縮まったら時速0Km/hにするみたいなモンだね。今回の場合は車間が目標光量で、アクセルの踏み込む量が、走行体の旋回量になるんだ。 [吉田]なるほど、100Km/hと0Km/hでしか車間を調整できないのなら一定に保つのがむずかしい、それは今回のライントレースでも同じってことだね。私たちずいぶん乱暴な動作をしていたんだね。あ、乱暴な制御ね。 [舟元]そうそう、じゃあ、偏差0の時はまっすぐ走
Hanako-RMSeminar_No07.jhd
センサ信号の処理の基礎 仙台市地域連携フェロー 仙台市/仙台市産業振興事業団 熊 谷 正 朗 kumagai@tjcc.tohoku-gakuin.ac.jp C07/Rev 1.0 ロボット博士の基礎からのメカトロニクスセミナー ロボット開発工学研究室RDE 第７回 東北学院大学工学部 C07 センサ信号の処理の基礎 基礎からのメカトロニクスセミナー 今回の目的 ○ センサ信号の処理の基礎 テーマ１：センサの信号と情報 ・ センサの信号は処理が必要 ・ 値の変換処理・微分積分 テーマ２：フィルタ＝時間変化する信号の処理 ・ ノイズ除去系のフィルタ ・ 周波数抽出・分析型 テーマ３：信号処理の実例 ・ ロボット姿勢センサ等 Page. 2 C07 センサ信号の処理の基礎 基礎からのメカトロニクスセミナー イントロダクション ○ センサの役割 物理的・化学的現象(*1)を電気的変化(*2)に
二次関数の移動
《解説》 ２つの２次関数のグラフは，x2の係数aが一致すれば同じ形で，平行移動によって重なります． 移動の仕方は，頂点を比較すると分かります． 【例1】 ２次関数 ｙ＝2x2…(A) のグラフの頂点の座標は (0,0)です．同様に，２次関数 ｙ＝2(ｘ－1)2＋５…(B) のグラフの頂点の座標は (1,5)です． (0,0)から(1,5)へは，ｘ軸方向に 1，ｙ軸方向に5 だけ平行移動すれば重なる． 【例2】 ２次関数 ｙ＝2(ｘ－３)2＋４…(A) のグラフの頂点の座標は (3,4)です．同様に，２次関数 ｙ＝2(ｘ－1)2＋５…(B) のグラフの頂点の座標は (1,5)です． (3,4)から(1,5)へは，ｘ軸方向に -2，ｙ軸方向に1 だけ平行移動すればよいので，（Ａ）を（Ｂ）に重ねるには，ｘ軸方向に -2，ｙ軸方向に1 だけ平行移動します．
微分とは何か？ - 中学生でも分かる微分のイメージ
微分とはズバリ、ある関数の各点における傾き（変化の割合）のことです。 と、いきなり言われてもよくわからないでしょう。そこで、このページでは、中学校で学習した y=ax2 のグラフを用いて、中学生でも分かりやすく、微分のイメージを持ってもらえるように微分の解説をします。 微分は科学分野において非常に大事な概念ですので、ぜひ意味を理解してくださいね。やや数学的厳密さを欠いた説明になりますが、それは高校生になってからしっかり学習することにしましょう。 もくじ 微分とは微分はグラフの拡大と同じy=ax2 の x=1 における微分y=ax2 の微分微分を表現する記号 微分とはいきなりですが、問題です。下のグラフは y=x2 のグラフを x=0.5 付近で拡大したものです。 x=0.5 付近のグラフについて、 オレンジ色の線はどんな図形に見えますか？その傾きはいくつですか？ y=x2 の x=0.5
ガウス関数の手抜き理解 - 大人になってからの再学習
統計でも物理でも画像処理でも、どこにでも出てくるガウス関数（正規分布）。 だいたい次のような形の式で表現される。 数学が嫌いだったり、数学アレルギーだったりすると、もうこれだけでダメ。 この式は、「つりがね型」と言われる、次のような曲線を作る。 ちなみに、釣鐘（つりがね）って、こんなの。 （出典：弘化の釣り鐘 文化遺産オンライン） このガウス関数、あまり難しく考えなくても、だいたい次のような要点だけ理解しておけば、ほとんどの場合には事足りる。 結局、「ガウス関数＝つりがね型」と決まっているので、 ガウス関数の式が出てきたときに「どんな形をしているのだろう？ 」という疑問に対しては、「どれくらい平べったいか」くらいしか自由度が無い。 つまり、下の緑の数値だけ見て、ここが大きくなると平べったくなって、小さいと上に尖った形になる、ということがわかっていれば、だいたいOK。 マンガでわかる統計学
イージング関数チートシート
イージング関数は、時間の経過に伴うパラメーターの変化率を指定します。 現実の物体は、即座に動いたり停止したりすることはなく、一定の速度で動くこともほとんどありません。引き出しを開けるとき、私たちは最初に引き出しをすばやく引き出し、それが外に出てくるにつれてゆっくりと動かします。床に向けてなにかを（例えばペンのような）放すと、最初に重力によって下に向かって加速し、床に当たった後上に跳ね返ります。 あなたの必要なイージングを選択して、あなたのプロジェクトの中で使用してみてください。
4.2 三角関数 | Yasushi Noguchi Class
さて、プログラムによって図形を描く場合に避けて通れないのが三角関数（サイン、コサイン）です。円などに代表される曲線を描く際によく使われます。タンジェントは使用頻度が低いので、ここでは省略します。 多少公式的なものが出てくるがゆえに苦手意識が生じる人もいるかもしれませんが、冷静にゆっくり実習してみましょう。公式は覚えなくても使う時に参考書を確認すればいいので、安心してください。 それでは、サイン（sin）、コサイン（cos）を使って曲線を描いてみましょう。 4.2.1 円運動（極座標） まずは円を描いてみます。もちろんellipse(x, y, width, height)でも円が描けますが、このサイン、コサインは円だけでなく様々な曲線運動に使えます。 【図4.2-a】を見てください。円を描く際には、図のθ（シータ）の角度からx, yの座標を求める必要があります。
２線分の交点
線分ＡＢ、ＣＤがあったときに、その交点を求めるには？ 要素は２次元空間内に存在するものとします。 解説 線分ＡＢ上の任意の点Ｐは、媒介変数 r を用いて、以下のように表現できます。 P = A + r ( B - A ) （ r は[0～1]の値を取る） ・・・式① 同様に、ＣＤ上の任意の点Ｑも、媒介変数 s を用いて、以下のように表現できます。 Q = C + s ( D - C ) （ s は[0～1]の値を取る） ・・・式② ＰとＱが同一点になる場合の r と s を求めれば、ＡＢとＣＤの交点は求まったことになります。 というわけで、P = Q を解きます。 P = Q ⇔ A + r ( B - A ) = C + s ( D - C ) Ｘ、Ｙに関する連立方程式にします。 ⇔ Ax + r ( Bx - Ax ) = Cx + s ( Dx - Cx ) Ay + r ( By
座標変換
ベクトルで座標を表し、行列で変換することを扱います。 ロボットの世界は３次元が基本ですが、平面上で３次元を扱うことが、そもそも分かりにくいことなので、ここでは主に２次元平面を扱います。 ２次元と３次元、異なる点はいろいろありますが、３次元はだいたいは「２次元＋1」か「２次元×３」なので、まずは２次元でしっかりイメージをつかみましょう。 表 記 これから座標を扱うに当たって、表記の仕方を原則として以下のようにきめておきます。 座標、ベクトルはボールドイタリック(太字斜体)、小文字 座標変換のための行列などはボールドイタリック(太字斜体)、大文字 座標軸名、点などはローマン体(普通の)大文字 座標、ベクトル、行列の左肩に、基準となる座標系を記載する。 もちろん、不要なら省略します。(詳細は追って) 例： ベクトル p 1を座標系Aで観察したものを転置(横ベクトル)。 なお、通常の文章(HTML
中学生でもわかるベジェ曲線
ベジェ曲線をレンダリングしていたら面白くて丁寧に描いてしまった。せっかくなのでこれを使って誰にでもわかるように（たぶん中学生でも分かるように）ベジェ曲線というものが何かを説明してみたいと思う。 ベジェ曲線というのはなめらかな曲線を描くためのものなのだけど、説明はまず単なる直線から始めることになる。この下の図の点の動きがすべての基本になるからだ。 一本の直線があって、その上を点Mが一定の速度で移動している。この点Mの軌跡は、もちろんだけど、単なる直線になる。いいよね。tというのは線分上をどれだけの割合進んだのかを表す数値だ。 もうひとつ線を増やして、その上に、Mと同じように移動する点をもうひとつ増やすことができる。もともとの点MをM0、新しい点をM1と呼ぶことにしよう。M0とM1が動くルールは同じままだ。M1が増えても特にややこしくなっていることはないね。 さて、ここでM0とM1をつなぐ線を
平面射影変換
変換係数(a,b,c,d,e,f,g,h)の算出 各係数を算出するには、最低８個の変換式が必要になる。 ４つの対応点があれば８個の変換式(X,Yそれぞれ４つ)を生成できる。 ８個の変換式から連立方程式を解くことにより、各係数を算出する。 しかし、射影変換式のままだと分数を含んでしまうので、 分母を払い一次多項式に展開する。(↓)
逆行列を理解してみる - デジタル・デザイン・ラボラトリーな日々
画像の変形処理を行う上で逆行列を行う処理があり、理解がとぼしいためか頭が混乱してきます。 以前、テクスチャの仕組みを理解しようとした際にも、逆行列が出てきました。 あらためて、逆行列とはなんなのかをイチから理解していこうと思います。 行列には、足し算・引き算・掛け算は定義されているのですが、割り算は定義されていません。 では、行列で割り算が出来ないかというとそうではありません。 行列ではなく自然数の場合、「1」に「3」を掛けると「3」となります。これを元の「1」に戻す場合、「3で割る」ことで元の「1」になりますが、「1/3を掛ける」としても元の「1」になります。 この場合、「3で割る」とは言わずに「1/3を掛ける」と考えます。 割り算のかわりに逆数を掛けることで、割り算と同様の結果が求めることが出来るのです。 行列でも同じ様に「逆数を掛ける」に近い考え方をします。 行列に逆数を掛ける際に使
行列式の値の求め方、逆行列の作り方の C 言語プログラム
なぜかこの時期に「行列式の値」と「逆行列」を作成するプログラムを毎年書いている気がして、その都度作るのが非常に面倒臭いので、今後も困らないようにアップしておく。 行列式の値の求め方 ・2 次の場合 たすきがけで簡単に解ける。 double a[2][2]={{1,2},{4,-1}}; double det=0.0; det=a[0][0]*a[1][1]; det-=a[0][1]*a[1][0]; printf("%f\n",det); // -> -9.000000 ・3 次の場合 サラスの方法で簡単に解ける。 double a[3][3]={{1,8,9},{-3,2,1},{4,1,5}}; double det=0.0; det=a[0][0]*a[1][1]*a[2][2]; det+=a[1][0]*a[2][1]*a[0][2]; det+=a[2][0]*a[0][1]
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微分積分