このページを印刷される方はこちらのバージョンをご利用下さい。図がより精細・鮮明に印刷できます。 グリーンの定理[積分定理の王] 数理物理学における大定理であるグリーン(Green)の定理を証明する。これはグリーンによって考えられたポテンシャル論で中心的な働きをする。また流体力学、電磁気学、光学において不可欠のものである。また純粋数学においても大へん有用で、リーマンはその複素関数の理論で(二次元に特化した)グリーンの定理を基礎とした。また変分法、固有関数、積分方程式など至る所でこの定理に出会う。 1.ガウス(Gauss)の定理 (1)証明 任意のベクトル関数A(x,y,z)が閉曲面Sの内部で連続であり、divAが内部のどの点でも値を持つ場合には次の関係式が成り立つ。[ガウスの定理] ここで、閉曲面の面積要素ベクトルdSは、その大きさが面積値で面に垂直な外向き法線方向を向くとしており、A・dS