[B! math] nanamasuhoshiのブックマーク

エクセルを用いた指数関数(Exp)・対数関数(log)の計算

２を３回かけあわせた数値を　23 (=2×2×2=8)と表記する。一般的に、同じ数値(A)をn個(正整数)かけあわせた数を次式で表記し、Aを底、左上の数値(n)を指数という。 An = A×A×A×A× ・・・ ×A　　(Aをn個かけあわせる) n=0　の場合、意味は考えられないが、便宜上、1と定義されている。 A0 = 1 定義とは：数学者が勝手に決めた事象のため、深く意味を考えても時間の無駄である。気に食わない定義は自身で再定義すればよい。同様に、指数が負整数の場合、次式の割り算で定義されている。 A-n = 1/　An　また、指数が分数(1/n)の場合、次式の√(平方根、立方根、・・・)で定義されている。 A 1/n = n√A 指数が分数(m/n)の場合、次式で定義されている。 A m/n =　( n√A )m 　=　(n√(A m) 指数(x)が実数

nanamasuhoshi 2009/08/06

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平面幾何におけるベクトル演算 » 直線と線分

で求まります（ここで |x×y| は実数に対する絶対値， |x| はベクトルに対する絶対値と「絶対値」の意味が異なっている点に注意してください）。コーディングは以下の通りです*1： // 点a,bを通る直線と点cとの距離 double distance_l_p(P a, P b, P c) { return abs(cross(b-a, c-a)) / abs(b-a); } 線分と点の距離今度は線分と点の距離を考えてみましょう。距離としてどのような値が欲しいのか，というのは問題依存なのですが，ここでは一般的な距離の定義に従って，点から「線分のどこか」への最短距離としてみます。そうすると，線分 ab に垂直な直線で点 a を通る直線と点 b を通る直線に囲まれた領域（下図の左の赤色領域に相当）にある点であれば，点から直線 ab への垂線が最短距離になります。また，点 c がこ

nanamasuhoshi 2008/07/30

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平面幾何 [3/4] - deq blog

前回に引き続き平面幾何の第3回です。今回扱っている話題は，内積・外積 2直線の直交判定・平行判定点が線上にあるかないかの判定です。内積・外積ベクトルの内積 (inner product, dot product, scalar product) と外積 (outer product, cross product, vector product) という演算を用いると幾何の問題を解く考え方が簡単になります。幾何学における内積や外積はもともと3次元空間上で定義されるものなので，まずは3次元空間上で幾何学的な内積・外積を導入し，それらが線形代数的なベクトル演算と等価であることを利用し，内積・外積を2次元平面上に拡張（縮小？）します。 3次元空間上において，ベクトルの内積（ドット積）はで表され，以下の式で定義されます：内積はcosを使って定義されている点と，内積の結果は単一の値＝スカ

nanamasuhoshi 2008/07/30

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直線と線分に必要なデータと交点の求め方

直線と線分の違い数学では直線とは両方向に無限に長いものを言うそうです。その一部分を切り取った有限の長さのものは線分と言います。ここでは議論の都合上、このような定義に従って話を進めます。まず前置きとして座標系について説明します。論理座標について数学では中心を原点(0,0)として、右方向にXが増大し、上方向にYが増大するという座標系を使います。これを論理座標系と呼ぶことにします。内部データの保存や計算などはすべて論理座標系で行います。ウィンドウ座標とプリンタ座標画面やプリンタでは左上が原点となります。右方向にはX座標の増大する方向となり、下方向にはY座標の増大する方向となります。このように論理座標とは、原点の違いと上下の違いがあります。画面とプリンタの大きな違いは解像度です。そのほかに、画面はスクロールすることで論理的には無限に大きな図形を表示できますが、プリンタでは複

nanamasuhoshi 2008/07/30

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線分を扱うプログラムはベクトルで解く - またお前かよ！

最近、別々の人から同じ質問をされたのでエントリーにまとめることにします。その質問というのが「線分ABと点Pが与えられたとき、AB上でもっともPに近い点を求めるには？」というもの。垂線をおろして交点を求めるだけの簡単なプログラムのように思えて、これはちょっと工夫が必要です。誰にでも思いつく【ナイーブな】解法垂線をおろして交点を求めればいいわけです。もし交点がなければ線分の端点AかBのどちらかが「最も近い点」になるはず。実際に手順を書いてみましょう。 ABの傾きaを求める。垂線の傾きは -1/a。ただしABが垂直なら垂線の傾きは0。垂線の傾きをbとする。点Pを通り傾きがbとなる直線を求める。【一次方程式を解く】 ABを直線の式で表し、垂線との交点を求める。【連立一次方程式を解く】交点の座標がAとBの間にあるなら、交点が求める点。交点の座標がAの外側ならAが求める点、Bの外側な

nanamasuhoshi 2008/07/30

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［228615］角度と座標の計算 − Flash の三角関数を使う

角度と座標を使った計算には、三角関数が必要になります。この文書では、三角関数について簡単な解説を加え、サンプルスクリプトをご紹介します。 1. 三角関数の意義高校で習う数学によると、三角関数はつぎのように定義されます。直角三角形の底辺と斜辺のなす角度を θ とする (図1) と、sinθ および cosθ は以下の式の値になります。 sinθ = 高さ/斜辺 cosθ = 底辺/斜辺三角関数に苦手意識をもつ方は多いようです。その大きな理由のひとつは、この比率にどんな意味があるのかわからないということではないでしょうか。まず、その点からご説明しておきましょう。 X軸 - Y軸からなる平面の直交座標に、原点を中心とした半径 1 の円を描きます。このとき原点から X軸に対して角度 θ の直線が円周と交わる点の座標は、(cosθ, sinθ) となります (図2)。これは、この交点

nanamasuhoshi 2008/07/30