平均律で考えます。 基礎として、 ある音((Z)とします)の半音上の音を、(Z+1)と書くことにしましょう。 そのさらに半音上の音は(Z+2)ですね。 f(Z)は、(Z)の周波数、 f(Z+1)は、(Z+1)の周波数、とします。 f(Z+12) = 2×f(Z) だとわかっているわけですね。 また、f(Z+1):f(Z) の比率と f(Z+2):f(Z+1) の比率、その後全て、半音違う音同士の比率は、ある一定値aですべて等しいことを前提とします。(※1) めんどくさいことを書きましたが、 f(Z)に12回aを掛けたらf(Z+12)すなわち2×f(Z)になるのですから、 f(Z+12) = a^12 × f(Z) 2×f(Z) = a^12 × f(Z) よって、2 = a^12 であり、aは正の実数でしょうから(マイナスとか複素数じゃないですよね)、 a = 2^(1/12) となります