内積の本質 - すもう
この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2015の 9日目の記事です。（8日目：「3の100乗を19で割ったあまりは？」を４通りの方法で計算する ） フーリエ解析は非常に話題に富む数学のトピックである．そのため様々なフーリエ解析の本が本屋に売られ，またインターネット上にもたくさんの解説が存在している．面白いのは，これらの解説の仕方には多様性があるということである．あるものは実際に高調波を合成して望みの波形に近似させる様子を見せたり，またあるものは最小二乗法の観点からフーリエ解析を述べている．これらフーリエ解析の解説書はまさにその著者のフーリエ解析の理解の仕方を表しているのだろう． 私はというと内積を関数に拡張してフーリエ級数展開を説明するというやり方が好きである．それまで幾何学的な意味しかわからなかったベクトルの内積が関数にも定義され，しかもそれが大いに効果を発揮するというと
FFT (高速フーリエ・コサイン・サイン変換) の概略と設計法
はじめに FFT とは離散フーリエ変換に関連する変換を高速に実行する一連の 計算方法のことです．ここでは，FFT の考え方とその設計方法について 具体的なプログラムを用いて示します．これは，FFT のライブラリを 作成したときのメモがもとになっています．専門的な説明は極力避けたので， エレガントでない説明になっているかもしれません．基礎知識として， 複素数の演算規則とフーリエ変換が何かということさえ知っていれば 理解できると思います．また，数学の知識がある程度あり 時間を節約したい方は， 1.2節と1.3節の要約(pdf 53KB) を一読していただければ速く理解できると思います． 目次 1 FFT 概略 1.1 離散 Fourier 変換 1.1.1 DFT の定義 1.1.2 DFT と通常の Fourier 変換 1.1.3 DFT の性質 1.2 Cooley-Tukey 型 FF
数理ファイナンス[MathematicalFinance]
三角多項式 関数のもっとも基本となるn次多項式は、これまでの説明の中で取り上げ、いくつかの例題としても解説を加えてきた。まだ中途半端な形で留まっていると感じられているかもしれないが、直交する無限次元の多項式まで手を伸ばして、ルジャンドルの多項式も紹介した。ならば自然にこのような事柄が三角関数ではどうなるだろうかとか、三角関数の取扱いをn次多項式のように発展させれば新たな関数の関係が見つからないだろうかと思われるだろう。どなたもご存知であろうが、ある三角関数の組を基底としたベクトル空間はフーリエ級数と呼ばれ、重要な解析の分野を形成しているのである。この項では線型代数を登山道として利用してフーリエ級数の山並みに一歩分け入ってみようと思う。 最初に、[-π,π]の連続関数を考えよう。この変域での連続関数が、f(-π)=f(π)であるとき、すなわち一般にはf(x)=f(x+2π)であるとき、
高速フーリエ変換 - [物理のかぎしっぽ]
ここで上の行列の真ん中で左右に分けて考えると，添字が偶数の行については左と右の部分が同じで，添字が奇数の行については左と右の部分が半周期ずれたものになっているのがわかります．そのため上の式は以下と等価です． 図1 図1を見てもわかる通りxの並びが変わっています．このように並び替えることで計算がしやすくなります．それではソースコードを見てみます． dfttimes = num; power = power_two(num); //２の何乗かを返す for(i=0; i<power-1; i++){ indexto = offset = 0; while(indexto < num){ indexfrom = 0; while(indexfrom < dfttimes){ rbuf[indexto] = re[indexfrom + offset]; ibuf[indexto] = im[in
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離散フーリエ変換（DFT)
