物理の本ではよく, 「反変ベクトルとは～～という変換則をもち, 共変ベクトルは・・・という変換則をもつものとして定義される」と説明がなされますが, 初学者にとってはなぜ唐突にこのような定義がされるのか非常にわかりにくいと思います. そこでこのページでは数学的によりシンプルな定義を採用し, 一点の曇りなく自然に反変ベクトルと共変ベクトルが導入されることを説明します. さらに2つの拡張としてテンソルが自然に導入されることもみていきます. 以下では$${\left(e_i\right)_{1\leq i\leq n}}$$を$${n}$$次元実ベクトル空間$${V}$$の基底とします. 複素ベクトル空間の場合も以下の$${\mathbb{R}}$$を$${\mathbb{C}}$$に変えるだけで全て上手く成り立ちます. このページと同じ内容のPDFも用意していますので適宜ご利用ください. 前提知
微分の計算は色々な場面で必要です。が、微分の記号である や が入った式の解釈って難しいですね。式の型〈type〉が分かりにくいのです。実際、原理的に型が判断できない式が使われることがあります。にもかかわらず、「分かる人には分かる」のは、暗黙のお約束や習慣的手順が駆使されるからです。 僕は、暗黙のお約束や習慣的手順が嫌いなので、ハッキリした計算方法を示したいと思います。現状の記法の問題点と対処法を知りたい方は、前半をテキトーに読み飛ばして、後半の3つの節を読めばいいと思います。 事前にラムダ計算について少し知っているほうがいいでしょう。JavaScriptや絵を使って説明した記事は： JavaScriptで学ぶ・プログラマのためのラムダ計算 JavaScriptで学ぶ・プログラマのためのラムダ計算 問題集 絵を描いて学ぶ・プログラマのためのラムダ計算 ラムダ計算をJavaScript側に寄せ
ん？ あれ？ ひょっとして … 一昨日書いた記事「なぜにテンソル記法は意味不明なのか」を読み直していて、気付いたことがあります。テンソル記法の「意味不明問題」は、解決できるようです。 思いついたときに書いておかないと、二度と書かない（書けない）ことがあるので、ふんばって必要なことは全部書いておきました。 内容： テンソル記法の「意味不明問題」とは アイディアと方法 インデックスからマーカーへ テンソル空間 テンソルとプロファイル プロファイル注釈 テンソルのテンソル積 双対空間に対するマーカー テンソルの縮約 置換と置換が定めるテンソル テンソルの置換同値 もうひとつの縮約 ネーム化とコネーム化 インデックスとしての添字 テンソル記法の「意味不明問題」とは テンソルの書き方〈記法〉としては、伝統的記法をそのまま採用します。「 はテンソルである」のような言い方を許容します。書き方・言い方にお
リー群というのは、おおざっぱには「微分ができる群」だと説明できるけれど、正則行列や指数行列を使って説明するものもあれば、多様体を使って説明するもあったりで、なかなか分かりにくい。 目次: リー群とは リー群の扱い方 微分でリー群の特徴を取り出す 接ベクトル 物理学の場合1 リー群のリー代数 物理学の場合2 リー群とリー代数の関係 微分写像 リー代数 指数写像、指数行列 指数写像 指数行列 左不変ベクトル場によるリー代数 接ベクトル場 接ベクトル場のリー微分 左不変ベクトル場 1. リー群とは リー群というのは、おおざっぱに 微分ができる群 と説明できる(可微分群?)。実数ℝから群Gへの関数 f: ℝ→G を考えて、その関数fの微分が考えられるなら、たぶんその群Gはリー群だろうと期待できる。 たとえば 実数の集合ℝ : 加法について群になっている。さらに関数f: ℝ→ℝの微分を考えられる。
情報幾何学を”非”数学者が学習する上で参考になりそうな書籍についてレビューする。特に、ニューラルネットワークなどの統計的学習理論を勉強している物理系/情報系/工学系の人間が読む前提で考えている。書籍は日本語に限り、３冊ピックアップした。 ※ここに記載されていない本は私が読んでいないだけで、読んだうえで本記事への掲載を取捨選択したわけではないことに注意をしていただきたい。紹介していない有用な参考文献も世の中にはまだまだあると思うし、もしおすすめがあればコメント欄から推薦してほしい。 紹介文献リスト 情報幾何の方法（甘利俊一・長岡浩司、岩波書店） 情報幾何学の基礎（藤原彰夫、牧野書店） 代数幾何と学習理論（渡辺澄夫、森北出版） 各書籍の目次比較 コンテンツとしてどのようなものが含まれているか、目次をもとに列挙する。あくまでコンテンツを確認することが目的なので、以下の箇条書きリストが目次と一致し
「ディープラーニングと物理学」を読んだ
TL;DR reference が充実している点、3,4章のブラケット記法の導入、5章のサンプリングの説明、は良かった 7章以降の物理への応用に関しては、お話的な内容だったりどのくらい嬉しいことなのかぱっと見で判断できないものも多かった 物理の言葉や例で説明されている部分も多く、物理を学んでいる（た）人がディープラーニングを学ぶときに読んでみる本、という印象 \[\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}}\] 理論物理の研究者が書いた「ディープラーニングと物理学」が出版されたという話を目にしたので、一通り読ん
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テンソルが意味不明な物理学習者へ: 共変ベクトルと反変ベクトルからテンソルまで｜vielb
微分計算、ラムダ計算、型推論 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
テンソル記法の「意味不明問題」は解決した - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
リー群の入門的なこと - 再帰の反復blog
情報幾何学の初学者向け参考書とそのレビュー - Coffee Break Script