【応用】条件のついた並べ方（隣り合わない場合） | なかけんの数学ノート
先ほどと同じように、条件が付いている3人を〇、条件が付いていない4人を△とした場合、次のような並び方があります。 1. 〇△〇△〇△△ 2. △〇△〇△△〇 3. △〇△△〇△〇 … まだたくさんありますが、〇が隣り合わない場合というのはいろいろありそうです。先ほどと同じように、列を〇と△に分けてから並べるのは難しそうです。1番目が〇の場合、2番目が〇の場合、…と分けていくのは、場合分けが多すぎます。また、例題1の「全体から引く」方法も難しいでしょう。 実は、【標準】条件のついた並べ方（部分的に固定）で使った「条件を最後に考える」という数え方を、この問題で使うことができます。「条件の付いていない人を並べ、その後で条件のついた人を、隣り合わないように並べる」という方法です。 どういうことかというと、まず、条件の付いていない4人を並べます。 △△△△ この並べ方は $4!$ 通りですね。この状
【標準】ユークリッドの互除法の原理 | なかけんの数学ノート
自然数 $a,b$ に対し、 a を b で割ったときの商を q 、余りを $r \ (\ne 0)$ とする。 このとき、「a と b の最大公約数」は、「 b と r の最大公約数」に等しい。 $a,b$ の最大公約数を G 、 $b,r$ の最大公約数を g とおく。 条件より、 $a=bq+r$ が成り立つ。右辺は g で割り切れるので、 a も g で割り切れる。よって、$a,b$ は g で割り切れる。この2つの公約数の最大のものが G なので、\[ G\geqq g \ \cdots (1) \]が成り立つ $a=bq+r$ から、 $a-bq=r$ も成り立つ。左辺は G で割り切れるので、 r も G で割り切れる。よって、 $b,r$ は G で割り切れる。この2つの公約数の最大のものが g なので、\[ g\geqq G \ \cdots (2) \]が成り立つ (1
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