テイラー展開、ローラン展開、特異点の種類
サイトのTOP→理系インデックス 複素関数論のTOP→複素関数論インデックス 論理構造をまとめておく。 定理２８ （ 複素関数におけるテイラー展開 ） ｆ（ｚ） は領域 Ｄ 内で正則であるとする。Ｄ内部の点 ａ について、円 Ｃ ：｜ｚ－ａ｜＝ Ｒ をとり、Ｃ は Ｄ の内部に含まれるものとする。このとき、Ｃ の内部において、ｆ（ｚ）は のように展開される。これを ｆ（ｚ）の点 ａ を中心とする 『 テイラー展開 』 という。 証明 ｚ ０ を Ｃ 内部の任意の点とする。 すると、｜ｚ ０－ａ｜＜｜ｚ－ａ｜であるから、 （*） と 複素数のべき級数、収束半径 の定理２７より、 コーシーの積分公式 の定理２１より、 （ 上の計算では、定理２１を２度用いている。また、項別積分を用いている。） 最初に仮定したように、ｚ ０ は Ｃ 内部の任意の点である。この定理では、ｆ（ｚ）を Ｃ 内部に限定し
特異点のなかでも本気で可笑しな真性特異点 - 完全無欠で荒唐無稽な夢
見当違いな使命感から、複素関数における特異点の事例を視覚化してみます。 Ｅｘｐ（１／ｚ）の名だたる特異点はｚ＝０です。 ローラン展開すればわかるように、 この級数から、ｚ→０にて無際限にｚが発散しまくるのは、なんとはなしに理解できましょう。 これを「真性特異点」と称します。数学愛好家にとっては神聖で神秘なトポスであります。 実際、Ｅｘｐ（１／ｚ）の絶対値がどうなるのかは、下図です。|z|<１です。 関数の絶対値が、ｚ→０にて無限にでかくなるのはいいとして、真性の真性たるわけは偏角を見える化すると理解が行き届くでしょう。 絶対値の図とは異なる特性が出てきていますね。 もっとｚ＝０近傍を拡大してみます。 関数値の偏角は大きな袋とじが何重にも合わさって、原点を包み込んでいるようです。 偏角が多値化しているということは、同じ絶対値で複数の関数値が何度か重複発生していることを示唆します。 これがピカ
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