エントロピー - Wikipedia
エントロピー（英: entropy）は、熱力学および統計力学において定義される示量性の状態量である。熱力学において断熱条件下での不可逆性を表す指標として導入され、統計力学において系の微視的な「乱雑さ」[注 1]を表す物理量という意味付けがなされた。統計力学での結果から、系から得られる情報に関係があることが指摘され、情報理論にも応用されるようになった。物理学者のエドウィン・ジェインズ（英語版）のようにむしろ物理学におけるエントロピーを情報理論の一応用とみなすべきだと主張する者[誰?]もいる。 エントロピーはエネルギーを温度で割った次元を持ち、SIにおける単位はジュール毎ケルビン（記号: J/K）である。エントロピーと同じ次元を持つ量として熱容量がある。エントロピーはサディ・カルノーにちなんで[要出典]一般に記号 S を用いて表される。 エントロピーは、ルドルフ・クラウジウスの造語である。ギリ
量子ネットワーク - Wikipedia
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Quantum network|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明
ラムゼーの定理 - Wikipedia
ラムゼーの定理（ラムゼーのていり）とは、数学の組合せ論における次の二つの定理のことである(フランク・ラムゼイ, 1930)。 無限ラムゼーの定理 r, sを正の整数とする。相異なるs 個の整数からなる集合全体をどのようにr 個の類に類別しても、ある整数の無限部分集合S が存在し、S に属する相異なる整数s個の集合は全て同一の類に属する。 有限ラムゼーの定理 s , r , k1, k2, ..., kr をki ≥ s となる非負の整数とする。このとき、次の性質を満たすRが存在する：n≥ Rならば、n 個の元からなる集合Nの s 個の元からなる部分集合全体をr個の類 C1, C2, ..., Crに類別したとき、あるiが存在して、ki個の元からなるNの部分集合で、その中のどの相異なるs 個の元からなる部分集合も類Ciに属するものが存在する。 以下、これを満たす最小のR をRr (s; k1
宇宙船Hale-Bopp艦隊
<body> <p><!--webbot bot="PurpleText" preview="このページのフレームセットは FrontPage フレーム ウィザードで編集できます ; FrontPage Explorer の [編集] ﾒﾆｭｰから [開く] または [エディタで開く] を選択します。 このページは、フレーム ウィザードで編集するまえに Web に保存する必要があります。 フレーム機能をサポートしないブラウザでは、その旨は表示さずに、このページのコンテンツが表示されます。 フレーム ウィザードを使って、フレーム機能をサポートしないブラウザで表示する代替のページを指定してください。" s-viewable=" " --> </p> <p>この Web ページでフレームが使用されていますが、フレーム機能をサポートしていないブラウザを使用しています。</p> </body>
アインシュタインの科学と生涯 目次
［アインシュタイン著『特殊および一般相対性理論について』より］ まえがき （特殊相対性理論について） 第１章 幾何学の諸定理の物理的内容 第２章 座標系 第３章 古典力学における時間と空間 第４章 ガリレイ座標系 第５章 （狭い意味での）相対性原理 第６章 古典力学にもとづく速度の加法定理 第７章 光の伝播（でんぱ）法則と相対性原理との見かけ上の不一致 第８章 物理学における時間の概念について 第９章 同時性の相対性 第10章 空間的距離の概念の相対性について 第11章 ローレンツ変換 ローレンツ変換の簡単な導き方（付記より） 第12章 運動している棒と時計の挙動 第13章 速度の加法定理---フィゾーの実験 第14章 相対性理論の発見法的価値 第15章 相対性理論の一般的効果（E=mc2について） 第16章 特殊相対性理論と経験 第17章 ミンコフスキーの四次元空間 ミンコフスキーの四
一般相対性理論のゲージ理論的見方(4) - hiroki_f’s diary
相対性理論の変分法について書いてみようと思う。相対論的な変分法には思うところがあって、この際、あ…ありのまま 今 起こった事を話すぜ！ 関連エントリー 一般相対性理論のゲージ理論的見方(1) - hiroki_fの日記 一般相対性理論のゲージ理論的見方(2) - hiroki_fの日記 一般相対性理論のゲージ理論的見方(3) - hiroki_fの日記 こういうエントリーを書くとあやふやな理解が訂正されて勉強になる。 目標は、 重力場の方程式を出すのに、物質の運動を表すLagrangian＋曲率を表すLagrangianの計量の変分をとって計算なんて方法があるけど、これには注意が必要だ。 特に、物質の運動を表すLagrangianからから計量の変分をとってエネルギー運動量テンソルを導くには、ある条件が満たされている必要がある。 僕が調べた限り、その条件について書いてあった相対論の本は、ラン
一般相対性理論のゲージ理論的見方(1) - hiroki_f’s diary
とりあえず思いつく分だけ書いてみることに。(1)があるから(2)があるかも。そういえば、kinki kidsの堂本光一が「うたばん」で相対性理論について空気を読まずに話をしていた。彼は立派なオタクだと思った。 相対性理論はリーマン幾何学でやるより、ゲージ理論でやるほうが見通しが良い。そこで、何回かに分けて書いてみることにした。厳密には書かないけど、ごまかしたりはしないつもり。 ゲージ理論は物理と数学の両方から研究されてきたが、同じ概念に異なる名称が与えられている。僕はゲージ理論に関しては数学よりの言葉を使うけど、でも時々物理の言葉も混ぜる。 一般相対論は質点の物理学だ。質点の運動を語る為には、ある質点の空間での軌跡を知れば十分だ。 そこで物体の軌跡の舞台となる空間についての設定を考えてみようと思う。よく使う絵がこれ。 線γは物体の軌跡、曲面Mが時空(座標を引いてある)、接空間TpMが速度の
一般相対性理論のゲージ理論的見方(2) - hiroki_f’s diary
一般相対性理論のゲージ理論的見方(1) - hiroki_fの日記の続き。 とりあえず(2)。内容は共変ベクトルと反変ベクトルのゲージ理論的な見方。メトリックの微分形式への拡張。 http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/MinkowskiDiffForms/は参考になるかも。計量をミンコフスキー計量からリーマン計量に変えて、やや数学的に細かくした。 ディラックの一般相対性理論 (ちくま学芸文庫)は面白い。 これを参考にしながら、ゲージ理論に書き換えてみる。 数学は接続の微分幾何とゲージ理論 を参考にした。 共変ベクトルと反変ベクトル 前に、dxとは？ - hiroki_fの日記で 速度ベクトルをTpMで定義した。そして、 しかし、速度は余接ベクトル空間Tp*Mで定義しても良く、それについてはまた明日。 と書いて、その明日が半年後の今日に
パリティ対称性の破れ - Wikipedia
パリティ対称性の破れ（パリティたいしょうせいのやぶれ、Parity violation）とは、空間反転した（鏡に映した）[注釈 1]ときに物理法則が同じにならないこと、または、その様な状態を言う。弱い相互作用が関与する物理現象で起こる。 P対称性の破れ、あるいは、パリティ非保存とも。 背景[編集] 通常の物理現象は空間反転を行っても変わらないように見える。たとえば、まったく見知らぬ国の映像がテレビに映っている場合、その画面が通常どおり撮影されたのか、一度鏡に反射させてから撮影されたのかは、通常の物理現象を見ているかぎりは判別できない。この様に空間反転した状態と元の状態で物理法則が変わらないことをパリティ対称性がある、または、パリティが保存されているという。 物体に働く力（相互作用）は重力相互作用、電磁相互作用、強い相互作用、弱い相互作用の四つの相互作用に分けられる。これらの中で、パリティ対
益川本「パリティ非保存と弱い相互作用(1)」
1950年代に「τ-θパズル」という謎がありました。これは現在では中性 K 粒子のことで、当時は、2π崩壊するものをθ粒子、3π崩壊するものをτ粒子をよんでいましたが、それらの質量が全く等しく、それが何故か？というパズルだということです。 「空間反転に対して弱い相互作用が不変であればパリティが保存する」ということから 2π崩壊するθ粒子 → パリティがプラス 3π崩壊するτ粒子 → パリティがマイナス（πが擬スカラーなので） と推定されました。 だから、θ粒子とτ粒子は等しいものとは考えられなかったとのことです。 ここで、「弱い相互作用がパリティ非保存」であればパズルは無くなることになりますね。 この方向で考えて問題を解いて、(1956年)ノーベル賞をとったのが、リーとヤンであることは有名です。 [リーとヤンの論文の優れていたところ] ・この問題を解く可能性があると考えられる限りを分析し、
ウェブリブログ：サービスは終了しました。
「ウェブリブログ」は 2023年1月31日 をもちましてサービス提供を終了いたしました。 2004年3月のサービス開始より19年近くもの間、沢山の皆さまにご愛用いただきましたことを心よりお礼申し上げます。今後とも、BIGLOBEをご愛顧賜りますよう、よろしくお願い申し上げます。 ※引っ越し先ブログへのリダイレクトサービスは2024年1月31日で終了いたしました。 BIGLOBEのサービス一覧
雑科学ノート － 鏡の世界の話 －
「鏡に映った像は左右が逆になる」ということは誰でも知っていますね。でも、これって本当ですか？ 床の上に鏡を水平に置いて、その上に立ったらどうなるでしょう。今度は上下が逆ですね。鏡は向きによって性質が変わるのでしょうか？ それでは上下のない無重力空間だったら？ 考えれば考えるほど、わからなくなって来ます。 実はこの問いはずいぶん昔からあって、これに対する解答もいろいろと考えられています。本も出ていますし、ネット上にもたくさんの関連サイトがありますから、これらを見れば、答えは得られるでしょう。ただし、その説明の仕方は人によって様々で、かえって混乱するかも知れません。どれが正しいというものでもなく、（明らかに間違っているものは別として）好みの問題、というところでしょうか。私もこの問題については子供のころから不思議に思っていて、ずいぶんいろいろと考えました。今でも完璧な説明ができる気はしないのです
ツイスター理論 - Wikipedia
ツイスター理論（ツイスターりろん、twistor theory）は、ロジャー・ペンローズによって1960年代後半に提唱された数学の理論の一つである。 理論物理学および数理物理学において、ツイスター理論は、従来の3+1次元時空（ミンコフスキー時空）の幾何的対象を計量符号 (2,2) を持つ4 次元空間の幾何的対象へ写像する。この空間はツイスター空間であり、その複素数の値を持つ座標は"ツイスター"と呼ばれる。 ツイスター理論は、量子重力理論に至る可能な道としてロジャー・ペンローズによって1967年に提唱された[1]。ツイスターは特に、任意のスピンの質量を持たない場の運動方程式を解く自然な方法である。ヤン＝ミルズ理論やアインシュタイン方程式の解の構成などに用いられる他、量子重力理論との関係で研究されている。 2003年、エドワード・ウィッテンは弦理論の位相的Bモデルをツイスター空間に組み込むこと
AtomicPlay : ツイスター理論
ツイスター理論 2011年05月16日 22:33 「ペンローズの量子脳理論」(2) ロジャー・ペンローズ 1931- roger penrose 訳・解説：竹内薫/茂木健一郎 1999.7.10 第2刷発行（徳間書店） -意識の新しい物理法則- ＜ツイスター理論＞ 今後の物理革命として、私（ペンローズ）は 30年前（1997年記）に「ツイスター理論」を 提出しました。 「ツイスター理論は、量子力学の根底にある 基本的な考えを時空構造と融合させようという 試みなのです。・・・この理論は、複素幾何学 の数学によって、時空と物理的な場を再構成する ことには成功しています。複素数（虚数を含む） は量子力学になくてはならない数ですが、 ツイスター理論では、時空構造にも欠かせない ものになっています。 ＜ツイスター理論の概略＞ 「時空の中の光線の束は、ツイスター空間の点 に対応します。逆に、時空の中
ｐ進数体の初歩
ｐ進数体の初歩 私の備忘録「５の倍数」における問題を考えるとき、その背景には深遠なる数論の世界 が横たわるのを感じざるを得ない。ここでは、その話題を代数学的に、もう少し詳しく考え てみようと思う。 ｐ 進整数を説明するために、ｐ進法展開された数 ａｎａｎ－1ａｎ－2・・・ａ1ａ0 (p) が ａｎｐn＋ａｎ－1ｐn-1＋ａｎ－2ｐn-2＋・・・＋ａ1ｐ＋ａ0 （各ａｋは、０≦ａｋ＜ｐ なる整数） すなわち、 ａ0＋ａ1ｐ＋・・・＋ａｎ－2ｐn-2＋ａｎ－1ｐn-1＋ａｎｐn （各ａｋは、０≦ａｋ＜ｐ なる整数） と表されることを確認しておこう。 これを、ｐ のべき級数で表したもの： ａ0＋ａ1ｐ＋・・・＋ａｎ－2ｐn-2＋ａｎ－1ｐn-1＋ａｎｐn＋・・・ （各ａｋは、０≦ａｋ＜ｐ なる整数） を、ｐ 進整数と言うようだ。 これら ｐ 進整数全体から、ｐ 進数体 Ｑｐ が構成される。（
p進展開について - 再帰の反復blog
ネイピアや小数の話からの派生で、p進展開についてのメモ。 整数間の距離 日常の感覚だと、0に一番近い正整数は1で、次に近いのは2、次が3、4、5、6、……とだんだん0から離れていく。 でも、それとは違う距離感覚を与えることができる。 まず任意に正整数pを取る。pは本当は素数にするのが都合がいいのだけど、都合が悪くなるまでは素数に限定しない。そして、pで割ったときの余りが等しい数同士は、等しくない数とよりも距離が近いと考える。pで割った余りに注目して、同じ余りのものは似ている→より近い、という感覚。 例えばp=3としたとき、次のようにグループを分ける。 グループ0: ……, -9,-6,-3,0,3,6, 9…… (3で割ったときの余り 0) グループ1: ……, -8,-5,-2,1,4,7,10…… (3で割ったときの余り 1) グループ2: ……, -7,-4,-1,2,5,8,11…
量子もつれが相対論を脅かす
私たちが経験から知っているように，この宇宙で私たちが直接に影響を及ぼすことのできる物体は直接触れているものだけだ。しかし量子力学によると，「量子もつれ」という性質がもたらす遠隔作用が存在し，2つの粒子が何の媒介もなしに同期して振る舞う。この非局所効果は単に直観に反しているだけではない。アインシュタインの特殊相対性理論に深刻な問題を投げかけ，物理学の根底を揺るがす。 量子もつれとなる特性はいろいろある。例えば，それぞれの自転の向きがはっきり決まっていないにもかかわらず，反対向きに自転していることは確実な2個の粒子がありうる。量子もつれは，粒子がどこに存在するかによらず，粒子が何であるかによらず，互いにどんな力を及ぼし合っているかによらずに，2つの粒子を関連づける。原理的には，銀河の両サイドに遠く離れた電子と中性子が量子もつれになっている例も考えられる。 一方で，量子もつれは「非局所性」という
KEK:News＠KEK(箱の中の玉の色)
東京とニューヨークに兄弟がいて、ハワイにいる両親が毎週１回決まった日時に、それぞれに小包を送り届けているとします。小包の箱の中には玉が入っていて、玉の色はいつもある決められたルールによって組み合わせられています。この玉の色の組み合わせのルールを知っていれば、東京の兄は、自分に届いた箱を開けて玉の色を見た瞬間に、ニューヨークの弟に届いたはずの玉の色を知ることができます。では、東京の兄が箱を開ける時に玉の色の組み合わせを選ぶ仕掛けが小包についていたとすると、ニューヨークの弟が受け取るべき玉の色はどうなるでしょうか？ 極微の世界を扱う量子力学では、この時、不思議な現象が起きることが知られています。アインシュタインを悩ませたこの現象は「量子もつれ」と呼ばれていて、21世紀の科学技術にとって非常に重要なものになると考えられています。 今回は、Belle実験グループがＢ中間子の崩壊において観測した量
「量子もつれ」のしきい値を特定？ - 米研究 : 海外からの最新科学ニュース
米Case Western Reserve Universityを中心とする研究チームはこの度、「量子もつれ」は大きな量子系で広くみられる特性であり、量子もつれが発生する「閾値(しきい値)」を特定したとする研究結果を発表。Communications on Pure and Applied Mathematicsに掲載されている。 今回の研究結果により、「量子もつれ」についての理解が一層深まり、その特性をうまく活用することができるようになる可能性が切り拓かれるかもしれない。 もし「量子もつれ」を巧みに利用することができるようになれば、超高速通信はもちろんのこと、ハッキングなどに対するセキュリティの高い暗号通信などが実現可能になるとも言われているし、その実現が期待される「量子コンピュータ」においても主要な役割を果たすことになるだろうと考えられている。 ▲ 「量子もつれ」 「量子もつれ (量子
量子もつれの「時空における非局所性」を実証 - イスラエル研究 : 海外からの最新科学ニュース
光子。(Credit: NASA/Sonoma State University/Aurore Simonnet) イスラエルの研究チームはこの度、時間的に同時には存在していない2個の光子を「量子もつれ」の状態にすることに成功したと発表。Physical Review Lettersに掲載されている。 チームは1個の光子を生成し、その偏光状態を計測したのちに、その光子を破壊。 それからもう1つ別の光子が生成されたが、この新しく生成された光子は既に破壊されてなくなっている光子と「時間的には同時に共存していないにもかかわらず」、初めの光子とは真逆の偏光状態を有しているということが観測によって確かめられ、両者が「量子もつれ(量子絡み合い)」の状態にあるということが証明されたとしている。 今回の実験は、「量子もつれ」が光子のあいだで、空間のみならず、時間において隔たりがある場合にもみられ得るという
量子もつれ(りょうしもつれ)とは？ 意味や使い方 - コトバンク
量子多体系において、2個以上の量子が古典力学では説明できない相関をもつこと、また、それにかかわる現象をいう。量子エンタングルメントともよぶ。アインシュタイン‐ポドルスキー‐ローゼンのパラドックス（EPRパラドックス）で提起された以下の問題から考察された。EPRパラドックスは、一つの粒子が反対方向のスピンをもつ二つの粒子Aと粒子Bに分裂した場合を考え、それらが十分離れたところで片側の粒子Aのスピンの向きを測定すると、測定していないほうの粒子Bのスピンの状態が粒子Aのスピンの状態の測定と同時に判明する（量子力学の予測）。そしてこのことは情報が瞬時に（超光速で）伝達されることを意味し、特殊相対性理論に反する、というものである。しかし、上述の実験を精密に行った結果、超光速で情報を伝達しているわけではないが、量子力学の予測どおりの結果になり、複数の量子が関係する系では古典力学では説明できない相関、つ
『６次元以上の空間の証拠 －量子もつれ現象、スピンの対象性』
自然科学、人文科学から社会科学、技術までなんでも興味津々の野次馬中年科学者のブログ。みなさん一緒に科学技術を楽しみましょう。 さていよいよ「手作り宇宙論」も核心に近づいてきた。周りの空間を観察して電気や磁気の様子（つまり光）を調べて、これに時間を考え合わせると四次元時空だった。アインシュタインの一般相対性理論ではこれに重力を加えて５次元だ。 ところで現代の物理学で相対性理論と同じぐらい巨大な成果が量子力学。非常に巨大な対象を中心に考える相対性理論（アインシュタイン力学）とは違い、分子サイズ以下から素粒子サイズという極微の世界を支配する力学だ。ところがこの二つを両立させようとすると様々な矛盾が発生してきてなかなか上手く行かなかった。（余談だけれども、相対性理論を提唱したアインシュタイン自身も量子力学の発展には大きく貢献しており、彼のノーベル賞は光電効果なので実は量子力学で取っている） 事の起
量子鍵配送システム
- - 367 521 = Z 191207) X Y = 191207 But 100% / / - 100% / or ? - } | {| 2 1 | 2 1 > + > >= Ψ t e t iθ θ > >= Ψ 1 | | t t2 t1 θ a t2 t1 b } | | | {| 2 1 | 2 2 1 1 b a b a t t t t > > + > > >= Ψ t2 t1 t2 t1 b a t t > > 1 1 | | b a t t > > 2 2 | | or or > 2 | t θ0 −θ0 a b ) | | | (| 2 1 | 2 2 1 1 b a b a t t t t > > + > > >= Ψ or b a > − > + + ) ( | ) ( | 0 0 θ φ θ φ b a > − > − − ) ( | ) ( | 0 0 θ
カルツァ＝クライン理論 - Wikipedia
カルツァ＝クライン理論（カルツァ＝クラインりろん、Kaluza-Klein theory、KK理論）は、重力と電磁気力を統一するために五次元以上の時空を仮定する理論である。理論物理学者のテオドール・カルツァが1921年に提唱し、1926年にオスカル・クラインが修正した。 通常の4次元時空（縦、横、高さ、時間）にもうひとつ、超微細な円形で存在する余剰時空を設定した5次元時空上での一般相対性理論(重力)を考えると、余剰次元が見えなくなり、4次元時空とみなせるスケールでは、重力に加えて電磁気力(ゲージ場)が現れる。4次元では別々の力として扱われていた重力と電磁気力が、5次元時空の重力に統一されるわけである。 これをさらに高い次元に拡張すると、余剰次元の性質により、非可換ゲージ場を導入することも可能である。 超弦理論では、理論が無矛盾に定義される条件として10次元時空が要請されるため、このカルツァ
進化した世界像 ひも理論が描く多重宇宙
R. ブッソ（カリフォルニア大学バークレー校） J. ポルチンスキー（カリフォルニア大学サンタバーバラ校） アインシュタインは後半生を，重力と電磁気力とを説明する統一理論の研究に捧げた。だが彼の試みは時代から先駆けすぎ，失敗に終わったとされる。アインシュタインの夢は後年の物理学者たちに引き継がれ，重力とそれ意外の力を統一的に説明する理論の模索が続いている。もっとも有力な候補として注目されているのが「ひも理論」だ。 ひも理論では，アインシュタインが提唱した４次元時空を超え，さらに６次元が存在すると考える。そしてこの余剰次元の形によって，どんな物質が存在し，どんな物理学法則が成立するかが決まるという。だが，その余剰次元の形はどのように決まるのか。 ひも理論の代表的な研究者である筆者のブッソとポルチンスキーは，驚くべき答えを提示した。余剰次元の形を決めるのはアインシュタインの方程式だが，その解は
カルツァー＝クラインの５次元理論_(1)
最近、「物理学に生きて」（ちくま学芸文庫）のなかの Ｏ．クライン の講演を読んでいて、５次元理論がちょっとしたマイブームです。 （リサ・ランドール理論はサッパリですが、、） それで標題の理論について少し調べてみたのですが、敷居が高いですね。 私の探したネットの中ではTOSHIさんのブログが一番詳しい解説だと思いましたので、紹介したいと思います。 （内容はTOSHIさんのブログのストーリーそのままなので、正しい理解はそちらをご覧になった方が賢明です。どちらかという、それを読んだ私の備忘録なので。。） 「カルツァ－クラインの５次元統一場理論１」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/03/post_a686.html 「カルツァ－クラインの５次元統一場理論２」 http://maldoror-ducasse.cocolog-ni
ＥＭＡＮの物理学・量子力学・クライン・ゴルドン方程式
こうして何だかすごくシンプルな美しい式が出来上がった。 この式を「クライン・ゴルドン方程式」と呼ぶ。 ローレンツ変換に対して不変であるのが一目瞭然の形式になっている。 この方程式を発表した論文著者の一人であるオスカー・クラインは、 あの「クラインの壺」で有名な数学者フェリックス・クラインとは別人であるので 混同してはいけない。 オスカーの方が半世紀ほど後に生まれている。 スウェーデン出身でドイツで活躍した。 相対性理論を５次元化して電磁気力も幾何学として表せるようにした 「カルツァ・クライン理論」やエックス線のコンプトン散乱についての 「クライン・仁科の公式」（日本人なら当然知っているべきだと教わったが、 専門家でもなければ目にすることは滅多にないだろう）でも有名である。 もう一人の著者であるヴァルター・ゴルドンはドイツ人なので、 日本では「ゴードン」ではなく「ゴルドン」と呼ぶのが普通であ
Spell Check Solutions, Spell Checker | Spellchecker.net
The spelling of the word "HEFA" can be explained using the International Phonetic Alphabet (IPA). The word is pronounced with a voiceless velar fricative "h" sound, followed by a l... Catch Complex Spelling Errors and Grammar Mistakes Check your grammar and spelling instantly with free online tools from spellchecker.net. Checking text and creating error-free emails and documents has never been eas
『超ひも理論５（アインシュタインの疑問）』
アインシュタインの重力方程式を５次元で書き直すと、重力方程式が電磁気力の方程式に変わった！ この発見をしたカルツァは、しかし、アインシュタインの疑問に答えられませんでした。 「５次元なんて、どこにあるの？」 まったくもって、その通り。５次元はどこにあるんでしょう？ いや、あるとしたらの話ですが（苦笑）。 アインシュタインの疑問を言い換えると、「５次元というのは、数学的テクニックにすぎないのではないか？」ということですね。 アインシュタインが重力方程式で使った変数は、「縦」「横」「高さ」「時間」という、本当に自然界にあって、目に見える（というか認識できる）モノばかり。この４つを変数にして式が成り立っている。なのに、そこに数学でしか出てこない「５次元」なんて、人間には見ることも触ることもできない「幻」を加えられても、それは自然を表現しているとは言えない。 そう考えたくなりますよね。 それでも、
5次元について - OKWAVE
重力を幾何学化する一般相対性理論ができた後、電磁相互作用も幾何学化して重力と統一することが望ましいと考えられるようになりました。このような「統一場理論」の一つとして提唱されたのがカルツァ=クラインの５次元理論です。カルツァは５次元の計量hμνを電磁ポテンシャルAμと４次元計量gμνを使って次の様に定義しました。 h5ν = g5ν + κAμ hμν = gμν + κ^2AμAν つまり５番目の次元は電磁相互作用です(重力ではありません)。クラインはカルツァの考えを進め、５番目の次元は量子論的に巻上がり、プランク長の半径にコンパクト化されているために観測されないとしました。こうして重力gμνと電磁相互作用を統一する理論ができましたが、Aμが電磁相互作用と見なせるためには荷電粒子場と正しい形で結合しなければなりません。これはスカラー場の場合はうまく行きますが、ベクトル場の場合はうまく行きま
ウェブリブログ：サービスは終了しました。
「ウェブリブログ」は 2023年1月31日 をもちましてサービス提供を終了いたしました。 2004年3月のサービス開始より19年近くもの間、沢山の皆さまにご愛用いただきましたことを心よりお礼申し上げます。今後とも、BIGLOBEをご愛顧賜りますよう、よろしくお願い申し上げます。 ※引っ越し先ブログへのリダイレクトサービスは2024年1月31日で終了いたしました。 BIGLOBEのサービス一覧
余剰次元 – cave syndrome
来年1月中旬に発売される「2013：人類が神を見る日-アドバンスト・エディション」のゲラが今日上がってきた。いよいよ校了が始まる。年末にかけて忙しくなりそうだ。最終校了予定は今月28日。年明けに印刷機を回して、15日過ぎには全国の各書店に配本されることになる。 この本は10年前に書いたものなので、一般情報として古ぼけた感も否めないが、内容的にはまだまだ十分にいけるだろう。というのも「人神」のような観点からポスト2013について語っている情報がまだまだ少ないからだ。 ヌース理論は予言する——まもなく、人間の物質観が大きな変化を蒙る。その変化の波はおそらく物理学からやってくる。それは最近流行のリサ・ランドール女史の本などにも頻繁に登場してくる「余剰次元」についての理解が、まうまもなく達成される予感があるからだ。 もともと、この「余剰次元」はカルツァ・クライン理論の5次元時空モデルに登場したプラ
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時空の次元とコンパクト化
Last Update： 11/14/2012 我々の住んでいる時空は、3次元空間です。ところが、超ひも理論ではしばしば9次元や10次元の空間が基本的であると考えられています。余分な次元はどうなっているのかというと、我々の現在の技術では感知できないほど小さい大きさに丸まっていると考えられています。このことを「コンパクト化」と言います。 コンパクト化というのは、「いらない」次元を処理するための単なるごまかしではありません。コンパクト化には大きな利点があります。自然界のいろいろな素粒子をまとめることもできるのです。簡単な例として、光を考えてみましょう。5次元時空の光をコンパクト化すると、光と「スカラー場」と呼ばれる粒子をまとめて考えることができます。これをストリングを使ってみてみましょう。 さきにみたように、超ひも理論では、光は「端のあるストリング」の最も低い振動であらわされます。5次元時空の
TOSHIの宇宙
個人力の少数寡占 (哲学はなぜ間違うのか) 松井秀喜:「結果振るわなかった」ＮＹで現役引退会見 今日は御用納め大納会 (自分なりの判断のご紹介) 岡山商科大学はあなたの夢を叶えます！ (岡山商科大学はあなたの夢を叶えます！) こっそり見てた・・・ (虎団Ｊｒ． 虎ックバック専用機) こっそり見てた・・・ (虎党 団塊ジュニア の 日常 グルメ 映...) 探偵ネタのおもしろ記事を一挙大公開中です！ (東京都 探偵) HTMLテンプレート＆Wordpressテーマ（mono-D-4）1ヵ月メールサポート付 (HTMLテンプレート＆Wordpressテーマ（mono-D-4）1ヵ月メールサポート付) 【訃報】俳優の小林すすむさんがスキルス性胃がんと肝臓がんで死去…58歳 お笑いトリオ「ヒップアップ」のメンバーで人気 (【豆β】芸スポ速報＋) 大逆転！スーパー糖尿病改善プログラム (大逆転！ス
波と粒子が同じである理由 - 小人さんの妄想
あらゆる物質の構成要素は、つきつめると「波であり粒子でもある」。。。 普通の常識からは全くイメージできない、量子力学最大の謎(?!)に終止符を打つときがやってきました。 この図に描かれた話が理解できたとき、波と粒子の謎は解消します！ ★ 我々が観測できる物理量は、対象の状態にエルミート演算子を施した固有値である。 これを、量子力学の前提として受け入れることにします。 （なぜこうなるか、と聞かれても困る。 なぜかは分からないけれど、この前提を受け入れると万事うまくいく。） エルミート演算子が物理的に満たすべき条件を示したのが、ハイゼンベルクの運動方程式です。 < ハイゼンベルクの運動方程式 > ih~(dO^/dt) = [ O^, H^ ] = O^ H^ - H^ O^ O^ : 時間変化を含むエルミート演算子、つまり O^ ≡ O^(t) H^ : ハミルトニアン、系のエネルギーを表す
ミラー–ラビン素数判定法 - Wikipedia
ミラー–ラビン素数判定法（英: Miller–Rabin primality test）またはラビン–ミラー素数判定法（英: Rabin–Miller primality test）は、与えられた数が素数かどうかを判定する素数判定アルゴリズムの一種。フェルマーの素数判定法や ソロベイ–シュトラッセン素数判定法と同じく、乱択アルゴリズムの一種である。Gary L. Miller が最初に開発したMillerテストは未だ証明されていない拡張リーマン予想に基づいた決定的アルゴリズムだったが、マイケル・ラビンがこれを無条件の確率的アルゴリズムに修正した。 フェルマーやソロベイ–シュトラッセンの素数判定法と同様、ミラー–ラビン素数判定法も素数に関して成り立つ等式に基づいており、与えられた数についてそれら等式が成り立つかどうかで判定を行う。 まず、有限体 の単位元の平方根についての補題を考える。ここで
グレブナー基底 - Wikipedia
グレブナー基底（グレブナーきてい、英: Gröbner basis）は、多変数多項式の簡約化が一意に行える多項式の集合である。多変数の連立代数方程式の解を求める際などに利用される（#計算例参照）。 グレブナー基底を求めるアルゴリズムとしては、ブッフベルガーアルゴリズム（英: Buchberger's algorithm）があり、数式処理の分野での連立代数方程式の解法として使われている。また、可換環論、代数幾何、微分方程式論、整数計画問題などに出てくる様々な数学的対象物を構成するための基礎となっている。 グレブナー基底の基本的な考え方は、多項式の集合 F を以下の特性を持つ "性質の良い"（グレブナー基底と呼ばれる）多項式の集合 G に変換することである[1]。 F と G は "等価"（つまり同じイデアルを生成する） さらに、グレブナー基底についての理論から以下のことが分かっている。 グレ
Wikipedia (JP) - フーリエ変換（Fourier transform）
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "フーリエ変換" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2013年2月) 上は時間領域で表現された矩形関数f(t)（左）と、周波数領域で表現されたそのフーリエ変換f̂(ω)（右）。f̂(ω)はSinc関数である。下は時間遅れのある矩形関数 g(t) と、そのフーリエ変換 ĝ(ω)。 時間領域における平行移動 (ディレイ)は、周波数領域では虚数部の位相シフトとして表現される。 数学においてフーリエ変換（フーリエへんかん、英: Fourier transform、FT）は、実変数の複素または実数値関数を、別の同種の関数fに写す変換で
微分方程式解法ノート
微分方程式解法ノート このノートでは高専で扱う常微分方程式の解法をまとめてみました. 具体的な例を使ってその解法を説明しました． 逆演算子法やラプラス変換では，覚える公式を限りなく少なくしました． ですから無理なくすらすらと読んでいけると思います． 1. 微分方程式とベクトル場 2. 簡単な線形微分方程式 3. 線形微分方程式の特殊解の求め方 4. 特殊解の求め方（逆演算子法） 5. 線形微分方程式の初期値問題（ラプラス変換による解法） 6. 連立線形微分方程式 7. その他の微分方程式の解法
ＥＭＡＮの相対性理論
目標と方針 第１部「特殊相対論」 相対性理論はなぜ生れたか エーテル理論の失敗 アインシュタインの指針 同時であるとはどういうことか ローレンツ変換の求め方 遊ぶのは後で 時空回転と不変量 固有時の意味 ４元速度 E = mc² の求め方 増大する質量 なぜ光速を越えられないのか 第２部「相対性原理の実践」 運動方程式の変更 反変ベクトル・共変ベクトル テンソル解析 計量とは何か ４次元の演算子 相対論的なマクスウェル方程式 ゲージ変換も簡単に ローレンツ変換の別の求め方 電磁場のテンソル表現 エネルギー運動量テンソル 第３部「一般相対論のきっかけ」 結論から始めよう 代表的な二つの公式 測地線の方程式の展開 重力場の方程式の展開 質量は錯覚だ 質量は２種類ある アインシュタインの解決法 第４部「リーマン幾何学」 共変微分 平行
フーリエ変換とラプラス変換
フーリエ変換、ラプラス変換 フーリエ変換とは、ある任意の時間信号を周波数領域で表したものです。 フーリエ変換論をまくしたててやろうかとも思ったんですが、多分誰も読まないので、端折って、回路に使う解説とします。 数学的には、フーリエ変換はアダマール変換等と同じ仲間で、直交変換に属します。 フーリエ変換はフーリエによってつくられ、シュヴァルツによって開花しました。 ここでは、数学的厳密さは完全に無視して、「物理的イメージ」 フーリエ変換でいきたいとおもいます。 もし、厳密な意味を知りたければシュヴァルツの本でも読んで下さい*。 「超関数論」（1951）。 日本語訳：岩村他訳「超関数の理論」（岩波書店） 数学的厳密さを無視しているのは、厳密にすればするほど、既に解っている人にしか解らないシロモノになるからです。 例えば、厳密に表現したら、 「フーリエ変換の定義 （１）式が存在するためにはコーシー
ＥＭＡＮの解析力学
目標と方針 第１部「力学の補足」 座標変換 見かけの力 コリオリの力 全微分 偏微分の座標変換 第２部「解析力学の基礎」 解析力学とは何か 運動方程式の変形 ラグランジュ方程式の利点 抽象化への準備 ルジャンドル変換 ハミルトニアン ポアッソン括弧式 括弧式の計算例 第３部「変分原理」 物理法則の形式 ベルヌーイの問題提起 最小作用の原理 つじつま合わせ ハミルトン形式にも使える 正準変換 正準変換で何ができるか（工事中） ネーターの定理 第４部「量子力学への入り口」 ハミルトン・ヤコビの方程式 ハミルトン・ヤコビの方程式２ 周期運動への応用 正準変換の実例集 前期量子論 幾何光学との類似 第５部「無限自由度の系」 波動とは何か ひもが波打つ理由 連続体の解析力学 汎関数微分（修正検討中） ラグランジアン密度を使う（修正検討中
ＥＭＡＮの物理学・力学・コマの歳差運動
回転をベクトルで表す 回転を物理の問題として扱えるようにうまく表すにはどうしたらよいだろうか？ 回転している物体を見るとき、ある部分はこっちへ、ある部分はあっちへ運動していて、 一つの方向で表すことが難しく感じる。 そこで回転軸を使って表現することにしたのである。 軸を決めれば回転の向きが固定されることになる。 それでも回転方向は軸の周りに右回りと左回りの二つあるのでどちらかに決めなければならない。 そこで右ねじを回転させた時にネジが進む方向に倣ってベクトルの方向を決めるのである。 そして回転の勢いをベクトルの長さを使って表すことにした。 こうすれば回転の様子を一つのベクトルだけで表現できることになる。 これが「角運動量ベクトル」と呼ばれているものの意味である。 便利な表現方法としてこの方法を採用しただけであって、 別にそのベクトルの方向に何か特別な力がかかるわけではないことに注意し
Topology and Geometry
Immerse yourself in crystals to understand and enjoy their structure.
高速フーリエ変換 - Wikipedia
クーリー–テューキー型アルゴリズムは、代表的な高速フーリエ変換 (FFT) アルゴリズムである。 分割統治法を使ったアルゴリズムで、N = N1 N2 のサイズの変換を、より小さいサイズである N1, N2 のサイズの変換に分割していくことで高速化を図っている。 最もよく知られたクーリー–テューキー型アルゴリズムは、ステップごとに変換のサイズをサイズ N/2 の2つの変換に分割するので、2 の累乗次数に限定される。しかし、一般的には次数は 2 の累乗にはならないので、素因数が偶数と奇数とで別々のアルゴリズムに分岐する。 伝統的なFFTの処理実装の多くは、再帰的な処理を、系統だった再帰をしないアルゴリズムにより実現している。 クーリー–テューキー型アルゴリズムは変換をより小さい変換に分解していくので、後述のような他の離散フーリエ係数のアルゴリズムと任意に組み合わせることができる。とりわけ、N
偏微分方程式 - Wikipedia
偏微分方程式（へんびぶんほうていしき、英: partial differential equation, PDE）は、未知関数の偏導関数を含む微分方程式である。 概要[編集] 微分方程式は通常多くの解をもち、しばしば解集合を制限する境界条件を付加して考える。常微分方程式の場合にはそれぞれの解がいくつかのパラメータの値によって特徴付けられるような族を解としてもっているが、偏微分方程式については、パラメータは関数値をとると考えるほうが有用である。このことは、過剰決定的な方程式系でない限りは概ね正しいといえる。 偏微分方程式は、自然科学の分野で流体や重力場、電磁場といった場に関する自然現象を記述するモデルとして現れる。これらの場というものは例えば、フライトシミュレーションやコンピュータグラフィックス、あるいは天気予報などを扱うために重要な役割を果たす道具である。また、一般相対性理論や量子力学の基
ヤコビの楕円関数
特別な場合（k=0, 1）k = 0 のとき、 sn(u, 0) = sin u cn(u, 0) = cos u dn(u, 0) = 1 k = 1 のとき、 sn(u, 0) = tanh u cn(u, 0) = 1 / cosh u dn(u, 0) = 1 / cosh u sc, dc などsn = sinφ(u) cn = cosφ(u) dn = √(1 - k^2 sn^2) に加え、 ns = 1 / sn nc = 1 / cn nd = 1 / dn sc = sn / cn cs = cn / sn cd = cn / dn dc = dn / cn ds = dn / sn sd = sn / dn あわせて12個の楕円関数を定義する。 ↑ 要するに、1文字目が零点、2文字目が極の分布を表していて、 s … 2m K ＋ 2n i K' c … (2m＋1)K
ラプラス変換 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "ラプラス変換" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2022年12月) 関数変換 関数解析学において、ラプラス変換（ラプラスへんかん、英: Laplace transform）とは、積分で定義される関数空間の間の写像（線型作用素）の一種。関数変換。積分変換の一種。 ラプラス変換の名は18世紀の数学者ピエール＝シモン・ラプラスにちなむ。 ラプラス変換によりある種の微分・積分は積などの代数的な演算に置き換わるため、制御工学などにおいて時間領域の（とくに超越的な）関数を別の領域の（おもに代数的な）関数に変換することにより、計算方法
宇宙論
宇宙の大規模構造に関する理論を詳しく解説した 『大規模構造の宇宙論 ─宇宙に生まれた絶妙な多様性』 が共立出版より出版されました。本テキストでは未完状態になっている、天体分布の統計理論や非線形摂動論についても、完成された解説が含まれています。 本テキストの後半部を中心とする素材をもとに、基礎的なところから応用まで大幅に多くの内容を追加・拡充して書き下ろした本 『宇宙論の物理（上・下）』 が東京大学出版会より出版されました。 本テキストの前半部を中心とする素材をもとに、多くの内容を追加・拡充して書き下ろした本 『現代宇宙論 ─時空と物質の共進化』 が東京大学出版会より出版されました。 本テキストの「構造の形成」の部分を書き改めたものが 『宇宙論II ─宇宙の進化』（日本評論社） の第3章「構造形成の基礎」になりました。
総和 - Wikipedia
数学において、総和（そうわ、summation）とは、与えられた複数の数を全て足した和のことである。与えられた数たちの間に和の交換法則、結合法則が成り立てば、それらの総和は一意に決まる。 概説[編集] 有限個の数を加えるためには 2 つの数を加えるという操作を帰納的に繰り返せばよく、加法については交換法則が成り立つので、このとき数を加える順序は気にする必要もない。一方で、無限個の数を加えるということはそれほど自明な操作ではない。18世紀以前には、無限個の和に対しても有限和と同じように、加える順序について放漫に扱われる傾向にあり、奇妙な矛盾を結果として導いてしまうこともたびたびあったようである。 無限和についての正しい取り扱いは、ディリクレ、リーマン、コーシーといった数学者によって極限の概念が整備される19世紀を待たなければならなかった[1]。 定義[編集] 総和は、加法が定義された集合 M
微分方程式 - Wikipedia
一変数関数の導関数の関係式で書かれる常微分方程式と多変数関数の偏導関数を含む関係式で書かれる偏微分方程式に分かれる[1]。 常微分方程式とは例えば、 や、 のような方程式である。 また、偏微分方程式は、 や、 のような格好をした方程式である。 代数的微分方程式[編集] 未知関数とその導関数の関係式が、未知関数や導関数を変数と見たときに解析関数を係数とする多項式である場合、代数的微分方程式と呼ばれる。 線形微分方程式[編集] 方程式が未知関数の一次式として書けるような方程式を線形微分方程式と呼ぶ。また、線型でない微分方程式は非線形微分方程式[注釈 3]と呼ばれる。 例えば、g(x) を f(x) を含まない既知の関数とすれば、 は線型微分方程式であり、 は非線型微分方程式である。線型と呼ばれる理由は後述する線型斉次な方程式について、解の線型結合がその方程式の一般解をなすためである。 未知関数
フーリエ変換とその性質
フーリエ変換とその性質 信州大学工学部 井澤裕司 1. はじめに 本章では、フーリエ変換について学習します。 フーリエ級数展開のある極限をとると、フーリエ変換が得られます。 このフーリエ変換は、変換と逆変換が共に積分の形になっており、ある意味では分かり難いと感じられる 方もいるのではないでしょうか？ このような場合は、フーリエ級数展開をもう一度よく復習し、その極限を考えてみて下さい。 あるいは、この後解説する離散フーリエ変換を先に学習するのも、ひとつの方法です。 これらの方が、変換と逆変換の関係が直感的に理解しやすいためです。 それでは、フーリエ変換の変換・逆変換の関係を導きましょう。 はじめに、複素フーリエ級数展開について簡単に復習します。 この複素フーリエ級数展開では、周期 T0 をもつ連続信号を対象にします。 この複素スペクトル cn は離散スペクトルとなり、その間隔は 1/T0 で
FFT
フーリエ変換のページで触れたように、フーリエ変換は「連続な関数」 の変換です。 ディジタル信号はサンプリングされています。これを離散信号（Discrete signal）と言います。 離散時間でのフーリエ変換 フーリエ変換を、サンプリングされた離散信号（つまりディジタル信号）について考えて見ましょう。 連続関数のフーリエ変換（１）式は、無限時間の積分です。積分というのは、ある関数の面積を求める作業ですね。 と言う事は、サンプリングされた信号で言えば、そのサンプリング点のみが値を持つ訳ですから、全てのサンプル値を加算すれば、それは面積を求めることと同じですよね。 つまり、積分の代わりに、サンプリング・ポイントでの無限の足し算をすればよいわけです。 (10) これが定義式になります。（毎度の事ながら、数学的には厳密な解釈じゃないです）T はサンプリング周期（＝1/fs）、n は整数です。 この
ラプラス変換
で表される積分変換をラプラス変換（Laplace Transform、ラプラスは人名（Pierre-Simon Laplace））といいます。 この式は、「フーリエ変換」の式中の iω （ω は実数）の部分に s （s は複素数）を代入したものになっています。 フーリエ変換では、微分演算子は iω に、積分は に変換されます。 すなわち、ラプラス変換の変数 s は微分演算子に相当するものです。 ラプラス変換では、iω を s で置き換えたことによって、 →∞ 方向に非常に強い収束性を持つようになります。 フーリエ変換では、exp(－st) という周期関数を掛け合わせているため、f(t) 自信が →∞ において収束する必要があったのですが、 ラプラス変換では指数関数を掛け合わせているため、f(t) が →∞ で発散するような関数でもラプラス変換した結果が意味を持ちます。 （まあ、ちょっと難し
ラプラス変換表
表2-1-4 一般関数のラプラス変換表 【質問】2008/02/04 (1)（表2-1-3）の７の符号が＋、−入れ替わった場合どのようになるのですか？ 【回答】2008/02/04 表中の７項に限りませんが，a および bは実数（複素数でない連続した数）です．実数は，正も負もとり得るので，それぞれ負の値（変数）を代入（例：a= -α，b= -β）してみてください． 【追加】2008/02/08 ご質問に関して，たとえばのラプラス逆変換といった意味合いと推測すると．．． 一般的な２次系以上のラプラス逆変換は，s の関数を部分分数分解して，表2-1-3の４項に該当させる形にして逆変換します．具体例としては２次系であればこちらを参照してください．また，高次であればこちらを参照してください． 【質問】2009/05/30 √t のラプラス変換はどうなるのでしょう？ 【回答】2008/06/08 回
微分方程式
本日の講義概要 数値シミュレーションについて 偏微分・常微分方程式について 微分方程式の解法 常微分方程式の差分近似 偏微分方程式 伝導方程式の差分近似 ラプラス方程式 計算力の問題 シミュレーションで大事な点＝誤差について 数値シミュレーションについて 前回資料での位置付け 数値シミュレーションの難しさ(易しさ)-> どこまでモデル化するか 時間的に変化するか 対象となる問題の安定性 数値シミュレーションについての考え方 安定な対象のシミュレーション＝簡単＝関数系が求めやすい＝一般系が単純かつ解きやすい 例：片持ち梁の曲げ 不安定な対象のシミュレーション＝難しい＝関数系が求められない（一般系が定まらない，解析的に解けない）->離散的な数値の連続として求める 例：定常的な現象は表現しやすいが，過渡的(一度だけ)な現象は表現しにくい 風になびく旗 車の衝突モデル 方程式を解くということは 基
離散フーリエ変換(ディジタル信号処理)
概要 アナログとディジタルの違いを大雑把に説明すると、 アナログは連続量を取り扱う ディジタルは離散量を取り扱う となります。 ここでは、連続関数と離散関数の間の関係および離散関数に対するフーリエ変換（離散フーリエ変換）について説明します。 周期関数のフーリエ変換 「フーリエ変換」では、 非周期関数を、「関数の周期TをT→∞としたものである」とみなすことで、 「フーリエ級数展開」を拡張し、「フーリエ変換」を導き出しました。 これとは逆、すなわち、フーリエ変換の式に周期関数を代入することでフーリエ級数展開の式を導き出すことを考えてみます。 それでは早速、周期Tを持つ関数、すなわち、f(t＋T) ＝ f(t)を満たす関数f(t)に対してフーリエ変換を行なってみましょう。
ラプラス変換
大学初年級の数学の必修科目は、微分積分学と線形代数学であると、私は思う。そこで 学ぶ考え方は、実際に、それを使う使わないに関わらず、将来どんな方面に進むにせよ、 物事に対処する潜在能力になるものと信じる。 今、大学では教養学部が解体され、早期に各自の専門学科を学ぶのが主流になってい る。それは、いい面もあるのかもしれないが、視野の狭い教育になっていないか危惧する 所である。いろいろな雑学の中からこそ、新しい発想が生まれるのではないかと私は考え る。 物理学の方面では、既に「飛び級」制度が始まっているが、日本数学会では、「飛び級」 制度に反対していると聞く。私は、それに同調するものである。 小学校入学以来学んできた算数・数学は、ただひたすらに微分・積分を目標としている。 それまで学んできたいろいろな事柄が、微分・積分の中で、互いに連関しあい、それまで バラバラだった知識が一気に集約される。し
初心者用 ラプラス変換解説
理工系の大学や高専で出てくる「ラプラス変換」。 教科書を見るといきなり 「ｆ(t)のラプラス変換 ( f ) は ∫o∞ e-st f(t) dt 」 とか書いてあるけど、 「何でこんなことしなきゃいけないの」 とか 「e-st のｓって何 」 とか気になって、前に進めませんね。 必修の科目にラプラス変換が出てくるのは、 微分方程式を解く時に使うと、 簡単になるからなんです。 電気回路とか 機械のレスポンスとかの問題を解く時は必殺です。 基本思想を以下に説明するので、お役立てください。 y ' +2 y = e-t を満たすような y（ｔ） はどんな関数か、 というような問題を微分方程式といいます。 これに ただし y(0) = 3 のような条件がついた問題を、初期値問題といいます。 t=0 のときの yの条件、つまり初期条件がついた問題です。 これくらいの問題なら、ラプラス変換を使わなく
フィボナッチ数とは？
フィボナッチ数というのは， 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55… となる数です。これらの数は，初めに1，1をおいて，最後の数とその前の数をたした数を次の数としています。 1，1 1＋1＝2 2＋1＝3 3＋2＝5 5＋3＝8 これはイタリアのレオナルド・フィボナッチという人が考えた数です。 レオナルド・フィボナッチ（1170〜1250） フィボナッチは，北イタリアの商業都市ピサに商人の子として生まれました。小さいときから算板（計算をするための板。現代のそろばんのようなもの）を学び，インドの計算法の勉強もしていました。また，エジプトやシリア，ギリシアなどを旅してアラビアの計算法の知識を身につけました。1200年頃にはピサに帰り，商人の仕事を続けながら，数学の研究にいそしみ，数多くの本にまとめました。その中で有名なのが『算板の書』です。彼はレオナルド・ダ・ピサ（ピサのレオ
放物型偏微分方程式
時刻における温度分布は前もって与えられるべき量で これが初期条件である。 格子点にたいし未知数個の未知数(秒後 の温度分布) がある。 上記の差分式はしかし、両端では立てられないので、差分式は全部で 本しか無いことに注意しよう。 たとえば、壁の右端は２０度Ｃ、左端は０度Ｃになっている、と言うように 両端の与えられるのが普通の問題である。 このときは、 、 、 となるので、未知数は実際には個である。 これが境界条件である。このように、未知数と方程式の数が一致する ように境界条件がかならず存在する。 では具体的に、２０度で一様なレトルト食品のパック (初期条件)を１００度の熱湯に いれたときのレトルト食品の温度変化を解いてみよう。 湯温は常に１００度に保たれているとする(境界条件)。 プログラムの流れ 配列 Tnow(i), Tnew(i): i=1,...,N を準備 delta= を設定
楕円積分 〜 振り子の周期を求める [物理のかぎしっぽ]
最初に楕円の周の長さを求めてみます．すると楕円積分というものが出てくるので，楕円積分について少し勉強します．最後に，楕円積分のもう一つの例として，有限振幅の単振子の周期を求める計算をします．これが本稿の目標です．途中で テイラー展開 の知識が必要になります．楕円積分とは何なのかを全く知らない人は「はじめに」を読んで下さい． はじめに 物理の計算をしていて，楕円積分というものに出くわしたことはないでしょうか？例えば，有限振幅の振り子の周期を求める計算や，コマの運動を考えるときに楕円積分という計算が出てきます．普通の教科書では，楕円積分が出てきた時点で「これは楕円積分と言われる計算で初等的には解けない．」と書いてあって，そこで計算が終わっているものがたくさんあります．私はそういうとき，難しくてもいいから最後まで計算が見たい，と思ったものです．きっと他にも最後まで計算の続きが見たい人もいると思い
ハミルトン–ヤコビ方程式 - Wikipedia
物理学においてハミルトン–ヤコビ方程式（ハミルトン–ヤコビほうていしき、英語: Hamilton–Jacobi equation）とは古典力学の再定式化であり、ニュートンの運動方程式、ラグランジュ力学、ハミルトン力学などの他の定式化と同値である。ハミルトン–ヤコビ方程式は力学系において保存される量を探し出す場合に特に便利であり、それはたとえ力学の問題それ自身が完全には解けない場合にでさえも可能である。 ハミルトン–ヤコビ方程式はまた、粒子の運動が波として表現される唯一の力学の定式化である。この視点から、ハミルトン–ヤコビ方程式は理論物理学の長らくの目標（少なくとも18世紀、ヨハン・ベルヌーイ以来）である、光の伝播と粒子の運動との類似性を見出す試みを達成したと見ることも出来る。力学系から得られる波動方程式は以下に示すとおり、シュレーディンガー方程式と、完全にではないがよく似ている。ハミルトン
ラプラス変換とその使い方１＜基礎編＞ラプラス変換とは何か 変換の基礎事項は | 音声付き電気技術解説講座 | 社団法人 日本電気技術者協会
このページにおける、サイト内の位置情報は以下です。 ホーム > 音声付き電気技術解説講座 > 電気数学 > ラプラス変換とその使い方１＜基礎編＞ラプラス変換とは何か 変換の基礎事項は 電磁気現象は微分方程式で表され、一般的には微分方程式を解くための数学的に高度の知識が要求される。ラプラス変換は、計算手順さえ覚えれば、代数計算と変換公式の適用により微分方程式が解ける数学知識への負担が少ない解法である。このシリーズでは電気回路の過渡現象や制御工学等の分野での使用を念頭に置いて範囲を限定して、ラプラス変換を用いて解く方法を解説する。今回は、ラプラス変換とはどんな計算法なのかを概観し、この計算法における基礎事項について解説する。
目次070606
目次Table of Contents トップページ 記号一覧 レッスン 1 行列算 1.1 例から入門 1.2 行列の言葉 1.3 行列の相等 1.4 和 1.5 行列のスカラー倍 1.6 積 1.7 積の単位元 1.8 分配則 1.9 積の結合則と拡大結合則 1.10 逆行列 1.11 積の逆行列は逆行列の逆順の積 1.12 転置 1.13 和、スカラー倍、積の転置 1.14 共役と共役転置 1.15 和、スカラー倍、積の共役、共役転置 1.16 ブロック行列 1.17 ブロック行列の積 1.18 ブロック行列の転置公式 1.19 ブロック行列の和とスカラー倍 腕試し問題 レッスン 2 ベクトル空間と線形変換 2.1 行列算総括 2.2 ベクトル空間の公理 2.3 簡単な結果 2.4 ベクトル空間の例 2.5 集合論から Part I 2.6 線形変換（線形写像） 2.7 線形変換の例
曲率と曲率半径 [物理のかぎしっぽ]
曲線が曲がっているとき，その局所的な曲がり具合を円に近似することができます．その円の半径を 曲率半径 ， 曲率半径の逆数を 曲率 と言います．すでに フレネ＝セレの式 で，曲率は として登場していますが，この記事ではまず，曲率を高校数学の範囲でも分かるように古典的に導いてみたいと思います． 読者の多くの方が，微積分の勉強で，曲線の微小部分を接線で近似する，という見方に触れたことがあると思います．曲線を直線で近似とはずいぶん乱暴な話ですが，これは一番簡単な近似で，一次近似とも言うべきものです． もう少し曲がり具合を表現しようと頑張ってみたのが，曲がり具合を円弧で近似する二次近似です．それでも，一般の複雑な曲線の曲がり具合を表現するには簡単すぎますが，直線よりかは大分ましでしょう．曲率を，曲線の曲がり具合の二次近似だと考えると少し見通しが良くなると思います．最初のセクションではベクトルを使いま
Engineering Tool Information Blog - ラプラス変換の質問
こちらに掲載しているラプラス変換表に，適合するものは無いので 定義から求めましょう．折角なので，ラプラス変換表に加えるべく tx という 形で導いてみたいと思います． ---式1 ここで，st を τ に置換して積分します． 上式を代入して ---式2 ここでは，定数として収束します．ところでこの積分は，一般にガンマ関数として知られます． 一般的には次式のように定義されています． ただし x > 0 ガンマ関数を導入して tx のラプラス変換を示すと ---式3 ガンマ関数は，一言で解説すると，階乗：n!＝1×2×3×・・・×n の nを実数または複素数にまで拡張した 関数です． 工学の分野では，製品の経時劣化に関する信頼性／寿命の統計などの分野にも使用されます．我々の電子回路の分野では， パワー半導体などに関してワイブル等使って熱伸縮による金属疲労を解析したりといった分野に，なにげに多用
なっとくする偏微分方程式 - とね日記
理数系ネタ、パソコン、フランス語の話が中心。 量子テレポーテーションや超弦理論の理解を目指して勉強を続けています！ 本書についてはその後「再読： なっとくする偏微分方程式：斎藤恭一」という記事を書いたので、そちらをお読みください。 ---------------------------------------------------------------------- ほぼ１ヶ月ぶりの日記になってしまった。かなり忙しい日々を過ごしていた。 さて９月中旬に読んだ本を紹介したい。「なっとくする偏微分方程式」だ。宇宙論とは直接関係ない数学のお勉強。ちょっとしたウォーミングアップだ。数学の授業では偏微分方程式を解くことは教わるが、偏微分方程式をたてることは教わらない。この本では実際の状況をどのようにイメージし、モデル化することによって偏微分方程式をどのようにたてたらよいかを詳しく説明している。以
アトムノート 一次元量子力学 デルタ関数ポテンシャル1
このブログの目的は科学についての知識をあらゆる人と共有することです。2006年 1月 2日 手塚治虫に捧ぐ 2024-02 « 1234567891011121314151617181920212223242526272829 » 量子力学のテキストではデルタ関数のポテンシャルを考えることがある。普通に考えるとポテンシャルとしてデルタ関数のように特異性が高い関数を考えるのは少し抵抗がある。通常は井戸型ポテンシャルにおいて高さVと幅aの積V×aを一定にしてa→０の極限としてデルタ関数のポテンシャルが実現されるというのがよく聞く説明だ。つまり非常に高いピークを持ちその幅が無視できるようなポテンシャルを近似することでデルタ関数が実現するということだ。 デルタ関数ポテンシャルが存在するという立場、近似的にそのような効果が現れるという立場、そのどちらにせよ最終的に得られる結果が同じであれば、それは好
学校では教えてくれない数学:テータ関数
教科書や授業では触れられない（もしくはすぐに忘れてしまった）事で、”数学ってなるほどおもしろそう！”、”へえー”というものを紹介していきます。 楕円関数 を勉強すると、ある特別な関数群が目につきます。 それは、 テータ関数(theta function) これは、擬周期性をもつ正則関数として定義される関数です。 有理関数は、多項式の比であらわされるアナロジーを 楕円関数に当てはめると テータ関数の比として表示される ものとして定義することもできます（まあ、普通これはやらないけども）。 分母にくるテータ関数の零点の情報から、楕円関数の極の情報が得られます。 逆に、楕円関数の零点と極の情報を元に、比を構成するテータ関数から、元の楕円関数を表示することもできます。 ヤコビの楕円関数を、テータ関数の比としてあらわす表示は、そのもっとも簡単なパターンであり、岩波数学辞典や以下の本にあるので是非一見を
ふつーの人向け小林・益川理論 - 小人さんの妄想
「小林・益川理論とその検証」シンポジウムに行ってきました。 ノーベル賞理論とその背景を、一般の人向けに解説するという企画です。 >> http://belle.kek.jp/km-sympo/index.html 偉い先生の姿を拝んでこようという野次馬根性で見に行ったのですが、 わかりすくおもしろい話で、聞きに行って良かったと思える企画でした。 今日のお話をもとに、私の理解した小林・益川理論をまとめてみました。 私はふつーの人なので、それなりのことしか書いてないですよ。 実のところ、今日聞いた話だけで全容を理解するのはとても無理で、 行く前にブルーバックスで予習しておいたのが役立ちました。 消えた反物質―素粒子物理が解く宇宙進化の謎 (ブルーバックス) 作者: 小林誠出版社/メーカー: 講談社発売日: 1997/06/20メディア: 新書購入: 3人 クリック: 63回この商品を含むブログ
第4部♪小林・益川理論と素粒子物理学の行方 - やぎの宇宙ブログ
最後になりましたが、いよいよ小林・益川理論の登場です。 【カビボ角】 さて、再び弱い相互作用の話です。 前に説明したように、弱い相互作用は、素粒子が他の素粒子に変いるものです。 uクォークとdクォークは対になっていて、弱い相互作用によってuからdに、dからuに移り変わります。 同様に電子と電子ニュートリノも弱い相互作用によって互いに入れ替わります。 しかし、実はこの関係は1対1ではありません。 uクォークはdクォークだけではなく、一部はs（ストレンジ）クォークに変化します。 このようにクォーク同士の対応は完全に1対1ではなく、やや傾いています。 この傾きの大きさをカビボ角といいます（カビボ角が0なら1対1の対応になります）。 また、元の素粒子に対して、弱い相互作用によって生成する素粒子を対応させる行列をカビボ行列といいます（カビボ行列が単位行列なら1対1の対応になります）。 【小林・益川理
素粒子モデル[目次]
独自解釈による、サブクォークによる素粒子のモデルです。 内容を信用しないこと。 勝手な解釈なので、合っているかどうかは知りません。 第１世代については、そこそこ説明がつきますが。 無視しているスピンや世代については、今の所、 サブクォーク・モデルでは説明していません。 尚、｢称することにする｣と言う表現で名称を与えたものは、 私が勝手に付与したもので、 物理学での専門用語ではありません。 偶然専門用語と一致するかも知れませんが、 同じ意味とは限らないので、注意してください。 その他の「～することにする」等も、同様。 他に無いと思っていましたが、 1981年には、ほぼ同じ３つのサブカラーに関する論文があった様です。 ただし、アブストラクトしか見てないので、 どこまで同じで、何処から違うかは判断出来ません。 2005年4月13日、 「ゲージ・ボゾン」の章を、 「力の分化と混合」の章の後ろに移動
ＥＭＡＮの物理学・解析力学・ハミルトン・ヤコビの偏微分方程式
由来 せっかく正準変換というものを手に入れたのだから、 これを利用して、複雑な問題を一定の手続きで解く手法が 作れないかを考えてみたい。 少し考えれば分かることだが、 正準変換によって作られた新しいハミルトニアン が 0 となるような 変換をしてやれば、変換後の新しい変数 、 は、 を満たすのだったから、 も も定数だと言えることになる。 いや、実は は 0 でなくとも、 や を含まないような・・・つまり のみの関数であれば 同じことが言えるのだが、今の場合、話はなるべく簡単になった方がいいので、 となるような正準変換を探してやることにしよう。 そのような正準変換を実現するような母関数 を探すための 良い方法、機械的な一定の手続きなんてものはあるだろうか。 ハミルトニアンの変換 は、 という関係を満たす を見つけてやれば良さそうだ。 ところが というのは旧変数 で表された関数であり、 一方
30分でわかる量子力学の世界
■30分でわかる量子力学の世界 量子力学は難解です。 最初の「とっつき」の段階が特に難しく、苦労します。 入門書も数多く出版されていますが、それらでさえ難しく感じることもあります。 が、テーマです。 数式の細部より、その式が「何を意味するか」の方が大切です。 初歩の段階では直観的な理解が重要です。厳密な定義など必要ありません。 難解な量子力学を簡単に・・・ 文系だが、量子力学に興味を持っている・・・・ という方も歓迎します。 は、新しい視点です。 量子力学は、文系にも意外な形で応用できます。「ブランド」や「価値観」や「経営戦略」など、直接 目で見ることのできないものを、量子系の数理で「見える化」する。 「量子データフュージョン」などの存在も、あまり知られていません。 それが「抽象概念の可視化」です・・・ でも、その前に量子力学を簡単に・・・ 自分の潜在意識に大脳生理学的にアクセスし、その奥
生命と宇宙(KenYao'S HOME)
A image of universe 生命と宇宙 生命は宇宙が生んだ神秘 begin to 1997/6/15 (C)ken_yao
高速フーリエ変換（FFT)
高速フーリエ変換（FFT) 信州大学工学部 井澤裕司 １． 高速フーリエ変換とは ここでは、高速フーリエ変換について解説します。 高速フーリエ変換（Fast Fourier Transform; FFT）は、離散フーリエ変換の対称性に着目して、 その演算量を減らし高速に変換を行う手法であり、1965年、CooleyとTukeyにより発表されました。 周期 N の離散フーリエ変換（DFT)では、複素数の乗算を N2 回行う必要があります。 高速フーリエ変換では、その乗算回数を N・log2N /2 回に減らすことができます。 なお、乗算では加算を複数回行うので、加算より複雑な処理になります。 例えばNが2のべき乗、すなわち N=2m のとき、その比率を求めると、 ［FFT] / [DFT] = m・2m-1/22m = m/2m+1 となり、ｍ（すなわちN）が大きいほど、その効果がはっきり現
U Miyazaki: Akira Date
This page is written in English. Japanese page here. Last modified: Thu May 22 14:37:16 JST 2008 Akira Date Associate Professor Department of Computer Science and Systems Engineering Faculty of Engineering University of Miyazaki Miyazaki 889-2192 JAPAN . Tel +81-985-58-7986 Email: Breif CV Papers I wtote Graphs and Computing Neural Net with Gnuplot !! U. Miyazaki [our dept] NICT: [social] [center]
Excel / OpenOffice で学ぶフーリエ変換入門
本書は「Excel で学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門」の新版です。 著者：金丸隆志 出版社：ソフトバンククリエイティブ →サポートページ Excel と OpenOffice で使えるマクロがあります ISBN-13：978-4797367607 ISBN-10：4797367601 出版日：2011年12月24日 価格：3,024円 ネット販売： 現在、中古でしか入手できません。 Excel と OpenOffice による演習を通してフーリエ変換を習得します。通常の「フーリエ級数展開」、「フーリエ変換」、「パワースペクトル」、「離散フーリエ変換」、「FFT」の解説の他、 音声ファイルを Excel で直接読み込み、そのスペクトルを計算する演習を行うことでフーリエ変換の直観的な理解が可能となっています。 応用例として「ギター音分析」、「エンジン音分析」、「発声音分析」、「エコー効果」、
八元数 - Wikipedia
を考えるとよい。この表の非対角成分のほとんどは反対称で、主対角線と e0 に対応する行と列とを消せば歪対称行列が作れる。 この乗積表は以下の関係 （ここで εijk は ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 のとき値が +1 となる完全反対称テンソル）、および （e0 はスカラー元で i, j, k = 1, …, 7）にまとめることができる[3]。 上記の積の決め方は一意的に決まるものではないが、八元数の乗法を定義しうるたった 480 種類の乗積表のうちの一つになっている。他の乗法は非スカラー元を並べ替えて得られるもので、基底の取り換えを行うことに相当する。それ以外の場合には、いくつかの積の法則を固定すると八元数が持つ他の法則が崩れることを見る。それら 480 種類の八元数の代数系は互いに同型であるから、実用上は同一視してかまわないし、そもそもど
2009年度 | フーリエ変換及びラプラス変換 b - TOKYO TECH OCW
講義資料を全世界に向けて無償で公開し、最高水準の理工系教育を全世界の共有財産とすべく提供するプラットフォームです
密度汎関数法の基礎
１章 １章 密度汎関数法の基礎 密度汎関数法の基礎 第１定理： 電子密度と外場ポテンシャルとの一対一対応。 電子の波動関数ではなく、電子密度ρと外場ポテンシャルvとの 一対一対応を保証することにより、電子状態のハミルトニアンは 電子密度のみで表現できることを示した。 第２定理： 変分原理。 （N表現可能な）電子密度で表現された ハミルトニアンは、必ずエネルギー最小 となる解を持つことを示した。 第１定理： 電子密度と外場ポテンシャルとの一対一対応。 電子の波動関数ではなく、電子密度ρと外場ポテンシャルvとの 一対一対応を保証することにより、電子状態のハミルトニアンは 電子密度のみで表現できることを示した。 第２定理： 変分原理。 （N表現可能な）電子密度で表現された ハミルトニアンは、必ずエネルギー最小 となる解を持つことを示した。 1.1. 1.1. 基礎理論と定式 基礎理論と定式 密度
有限単純群の分類
「数理科学」の１９７０年の１２月号「有限群特集」は，私にとって思い出深い号である． この年に私は大学院に進学し，研究者としての第一歩を踏み出していた． 専門は有限単純群論と決めていたものの，教えを受けるつもりだった近藤武先生は，丁度Princeton高等研究所に行かれた後であり，同じ専門の先生は他にいらっしゃらないので，しかたなく一人で勉強していた． そんな折り突如として数理科学に有限群特集号が出たのである． 情報に飢えていた私は，空腹の時に思い掛けず山盛りの御馳走を出された人のように，その号を貪り読んだ． とくに冒頭の「有限群の最近の発展」という座談会の記事は，傍線を引きながら繰返し繰返し読んだ． そのため，表紙が取れてしまったが，補修をして２０年たった今でも手もとにある． この座談会の出席者を，所属は当時のままにあげると次のようになる（敬称略）． 長尾汎（大阪大学），
組成列と単純群 [物理のかぎしっぽ]
群 の正規部分群 を考えます． は部分群なのですから，一般に と の間には次の包含関係がなりたつことは明らかでしょう． 群 に複数の正規部分群が存在する場合には，それらの間にも包含関係が成り立つはずです．全ての正規部分群を大きな方から並べて番号を振れば，次のような包含関係が成り立つことが言えるでしょう． 最初が等号になっているのは， の最大の正規部分群 が 自身だからです．それ以下の正規部分群同士の関係には等号が入らないことにも気をつけて下さい． さて，このように正規部分群の包含関係を伸ばしていくと， が有限群ならば，いつか 以外で最小の正規部分群，すなわち単純群に到達して終わりになるはずです．(正規部分群は，高々 個しか無いからです．) これは，どのような有限群でも究極的には単純群にバラせるという，非常にショッキングな主張です．もし，世の中に有限種類の単純群しか無いとすれば，全ての有限群
有限単純群モンスター - 理学のキーワード - 東京大学 大学院理学系研究科・理学部
モンスターは，およそ8.08×1053個，正確には246・320・59・76・112・133・17・19・23・29・31・41・47・59・71= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000個の元からなる巨大な群（ぐん）である。ちなみにアボガドロ定数はおよそ6.02 ×1023である。モンスターは豊かな構造をもつ興味深い研究対象である。 群は図形や空間の対称性を記述する数学的構造である。位数すなわち元の個数が有限であるものを有限群という。 たとえば，正三角形には120度回転すると元の位置に重なるという対称性がある。何もしない操作や裏返しも含め，位数6の群が得られる。この群は位数2の群を回転のなす位数3の群で拡大したものと解釈できる。一般に，有限群は有限単純群の拡大の繰り返しでできている。 有限単純群にはいくつかの無限系列と
Galois 理論の数値実験
Galois 理論の数値実験 ● 始めに 「sf による置換群の数値実験」で作った S3,S4,S5,D4 すなわち P3{..}, P4{..}, P5{..} D4{..} の sf インデックス付きファイル変数の行列を使って、sf で実際に計算可能な、ガロア理論での部分群と部分体を作っていきます。一部 Maxima も使います。抽象的なガロア理論の具体例を作り、コンピュータ上で数値実験を行います。 Galois 理論の教科書では理由が分からないままに、抽象的に正規部分群や自己同型群などが定義され定理が積み重ねられていきます。それらの意味が分かるのは、最後の段階で Lagrange Resolvent を適用してからです。多くの挑戦者は、そこに到達する以前に、意味の分からない抽象的な定理の羅列に付いていけなくなます。ここでは逆を行います。具体例の Lagrange Resolvent
【Memo】モンスター群 - 演算記録
■概要 本エントリは、友人一名からのリクエストによって書かれています。 「年刊日本SF傑作選 超弦領域」（大森望・日下三蔵 編、創元SF文庫刊）収録作品「ムーンシャイン」（円城塔 著）に登場する数学概念「モンスター群」に関連する情報です。 ■群について 「群」とは代数学の基本概念で、集合の種類・性質と思ってください。 前提： ある集合G上の「二項演算」とは、Gの元（要素）a、b、cについて、a * b = cのような関係「*」を表す。 →加法（足し算）、乗法（掛け算）のようなものと考えればよい。 群の定義： ある集合Gと、G上の演算*を考えた場合、Gが群である（正確には、Gは*について群を成す）とは、以下のように定義する。 1.結合法則の成立 Gの任意のa、b、cについて、a*(b*c) = (a*b)*cが成り立つ。 2.単位元の存在 Gの任意の元aについて、a*e = e*a = aが
物理のかぎしっぽ
[2024-02-04] Contribution/新型コロナウイルスの時系列解析(5)第５波の詳細モデル(nino著) [2023-12-17] Contribution/新型コロナウイルスの時系列解析(4)第５波の統計モデル(nino著) [2023-11-06] Contribution/新型コロナウイルスの時系列解析(3)移動平均等を用いた感染状況の把握方法について(nino著) [2023-08-31] スポンサーご紹介/株式会社Quemix様のご紹介 [2023-08-31] 流体力学（加筆）/流体力学における最小作用の原理（提案）(鈴木康夫著) [2023-06-28] Contribution/新型コロナウイルスの時系列解析(2)第５波の特徴(nino著) [2022-03-20] 生徒募集/大学物理の家庭教師、生徒さんを募集します(クロメル) [2022-03-13] C
楕円積分・楕円函数とRiemann面入門 東京工業大学 理工学研究科 志賀 啓成 3 まえがき 楕円積分，楕円函数には１８世紀から続く長い歴史がある．そしてその理論 は様々な分野で応用され
楕円積分・楕円函数とRiemann面入門 東京工業大学 理工学研究科 志賀 啓成 3 まえがき 楕円積分，楕円函数には１８世紀から続く長い歴史がある．そしてその理論 は様々な分野で応用され，また発展を遂げてきた．このノートは主として学部 ４年生，大学院生を対象に，楕円積分，楕円函数の理論を複素解析学，リーマ ン面の立場から論じたものである．第１章については，複素解析の学部程度 の知識の他はあまり予備知識を仮定しなくても理解出来ると考えている．他 方，第２章，第３章についてはリーマン面論などの数学的感覚を要求するこ とがある． このノートでは，総じて筆者の嗜好により，証明，解説などにあたっては， 幾何学的考察を好み，なるべく計算による証明は避けた（特に第２章，３章）． このことで，楕円積分，楕円函数についての読者の見識が広がれば幸いである． 5 目 次 第 1 章 楕円積分 7 1.1 リ
リー群とその分類 松浦 千裕 平成 20 年 3 月 7 日 1 群の定義と用語 1.1 群の定義 集合 G の二つの元 a, b に対して積 ab が定義され,ab ∈ G であるとする. こ れを積について閉じているという. ��
リー群とその分類 松浦 千裕 平成 20 年 3 月 7 日 1 群の定義と用語 1.1 群の定義 集合 G の二つの元 a, b に対して積 ab が定義され,ab ∈ G であるとする. こ れを積について閉じているという. この集合が以下の 3 条件 1. 任意の a, b, c ∈ G に対し a(bc) = (ab)c 2. 単位元 e が存在し, 任意の a ∈ G に対して ae = ea = e 3. 任意の a ∈ G に対し逆元 a−1 が存在し,aa−1 = a−1 a = e を満たすとき G は群であるという. また群の要素の数を位数といい, これが有 限のものを有限群, 無限のものを無限群という. 下の例 1.3 で示すような連続 パラメータで与えられる群は連続群と呼ばれる. 群については交換律 ab = ba(a, b ∈ G) は要求されず交換律が成り立つ
ときわ台学/複素関数論/複素解析学/講義ノート目次
複素関数論入門 （複素数解析学） f-denshi.com －目次－ トップページ へ Since 2002 May １ 複素数とガウス平面 2-1 複素１次関数 2-2 複素指数関数と対数関数 ３ 正則関数 ４ 複素ベキ級数関数 ５ 複素関数の積分 ６ コーシーの積分定理 ７ コーシーの積分表示 ８ 複素関数のテイラー展開 ９ ローラン展開 10 留数定理 Appendix 1 取りこぼし I リーマン面 Appendix 2 取りこぼし II 一致の定理，解析接続 etc. Appendix 3 ∫との交換 SUSTAINABLE TOKIWADAIGAK SINCE 2002 PDF版の目次
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3 1 1 1 z 43 44 3 3.1 1 3.1.1 1 n 0 a0;a1;a2;111 (a0 6= 0) P(z) = a0zn + a1zn01 + 111+ an01z + an (3.1) n z P(z), Q(z) z Q(z) 6� 0 P(z) Q(z) = a0zn + a1zn01 + 111+ an01z + an b0zm + b1zm01 + 111+ bm01z + bm (3.2) a;b;c;d 1 w = az + b cz + d ; (ad 0bc 6= 0) (3.3) 1 1 1 1 (3.3) w = (bc 0ad)=c cz + d + a c (3.4) 1 1. w = z + 2. w = z 3. w = 1=z 3 3 (1) , (2) O P OP = 1=OQ Q P Q 3.1 1 45 3.1 1=z z 1=�
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7 f(z) H f(z)dz = 0 f(z) , I f(z)dz = 0 19 123 124 7 7.1 . 7.1 7.1.1 32 f(z) D D 1 C C z 7.1 f(z) = 1 2�i I C f(�) � 0z d� (7.1) f(z) �- C f(�)=(�0 z) 1 � = z � = z Res(z) = lim �!z (� 0z) f(�) � 0 z = f(z): (7.2) 7.1 (7.1) C f(z) C 7.1 125 7.1.2 1 f(z) z = a jz 0aj = r C z = a r � Ref(a) > Ref(a + rei� ): (7.3) C z 0a = rei� ; dz = irei� d� = i(z 0 a)d� f(a) = 1 2� Z 2� 0 d�f(a + rei� ): (7.4) (7
テイラー展開、ローラン展開、特異点の種類
サイトのTOP→理系インデックス 複素関数論のTOP→複素関数論インデックス 論理構造をまとめておく。 定理２８ （ 複素関数におけるテイラー展開 ） ｆ（ｚ） は領域 Ｄ 内で正則であるとする。Ｄ内部の点 ａ について、円 Ｃ ：｜ｚ－ａ｜＝ Ｒ をとり、Ｃ は Ｄ の内部に含まれるものとする。このとき、Ｃ の内部において、ｆ（ｚ）は のように展開される。これを ｆ（ｚ）の点 ａ を中心とする 『 テイラー展開 』 という。 証明 ｚ ０ を Ｃ 内部の任意の点とする。 すると、｜ｚ ０－ａ｜＜｜ｚ－ａ｜であるから、 （*） と 複素数のべき級数、収束半径 の定理２７より、 コーシーの積分公式 の定理２１より、 （ 上の計算では、定理２１を２度用いている。また、項別積分を用いている。） 最初に仮定したように、ｚ ０ は Ｃ 内部の任意の点である。この定理では、ｆ（ｚ）を Ｃ 内部に限定し
ヴィジュアル複素解析 - とね日記
理数系ネタ、パソコン、フランス語の話が中心。 量子テレポーテーションや超弦理論の理解を目指して勉強を続けています！ 数学書の紹介記事は久しぶりになってしまった。というのも今回読んだ「ヴィジュアル複素解析」という本が６００ページもある分厚いものだったからだ。（英語版のPDFはここに公開されている！） アマゾンのレビューでも「驚くべき本！」と記されているとおり数学書としてはユニークな本だった。複素解析というのは複素数を変数とする関数の理論であり、以前「複素関数」という大学の教科書のような本で勉強した。高校までで習うのは実数関数で、XY平面にグラフで描ける関数だ。だから実数関数やその微分、積分にしても視覚的にわかりやすいし、立体の曲面のグラフだってXYZの３次元のグラフを描けばなんとか表現できる。けれども変数xをa+biのように複素数に拡張すると、関数の値yも複素数になるから、xもyも２次元つま
複素解析インデックス
サイトのTOP→理系インデックス ※ フーリエ解析、複素解析、ベクトル解析、微分方程式は合わせて応用解析と呼ばれることもある。 ※ 『 複素解析 』 と 『 複素関数論 』 という言葉はほぼ同じ意味で用いられる。 ※ 第１章～３章では工学部・理工学部の標準的な複素関数論を扱う。 ※ その他の内容は第４章以降で扱う。 ※ 各定理の関係は 複素解析の論理構造 にまとめた。 第１章 複素数・複素関数 ※１ Tea time （ 複素数の導入、複素数の幾何学的意味 ） ▲２ 複素数、複素関数 ▲３ 多価関数とリーマン面 （ｎ乗根、対数、指数） ※４ Tea time （ 複素関数では成り立たない公式 ） △５ 複素数の計算 △６ 複素関数の計算① △７ 複素関数の計算② ※８ Tea time （ 数は出揃ったのか？） ※９ Tea time （ なぜ複素数を考えるのか？） 第２
FT定理はすごい！ - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記
では私が当面の目標としている Feit-Thompsonの定理、別名、奇数位数定理（odd order theorem)についてひとくさり。 まずはその内容であるが、 [Feit-Thompsonの定理] 奇数位数の有限群は可解である これだけである。しかし主張していることはすごい。群の位数が奇数であるというだけで、その群が可解であると言い切ってしまっている。可解というのは、交換子群を作るという操作を繰り返していくとどんどん小さくなって最後は１になるという性質を持つ群である。交換子群は正規部分群であり、もとの群が可換でなければ、１とも異なる。したがって非可換な可解群は単純群（それ自身と１以外の正規部分群をもたない群）ではない。つまり非可換な奇数位数の群は単純ではないということで、非可換な単純群の位数は偶数であるということになる。つまり、有限群論の大テーマである単純群の分類において、偶数位数
なぜ有限群なのか？ - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記
この日記は、私 kazu_FGFが趣味で気ままにやっている有限群の勉強の励みにしようと、お気楽に始めてみるものである。とはいえ、自分でも忘れてしまわないように、なぜ有限群なのか？という動機について初めに述べておきたい。話し出すと長くなるので結論を先に言うと、ずばり目指す究極のターゲットはモンスター群である。 『なんだかモンスター群というすごいものがあって、周りに月光を放っているらしい！』 そういう噂を偶然Webで聞きつけて、すこし調べていくと、モンスター群の周辺にはムーンシャイン（月光）現象と名づけられた怪奇現象が起こっているというのである。 モンスター群というのは、散在型単純群と呼ばれる有限群のなかで、その位数が最大のものであり、具体的には 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 と目
演習問題 - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記
O'Brien論文の解読作業がもうちょっと先の方で停滞しているので，ちょっと別のネタを． もともとFT定理本を読もうという目論見で，その準備と称して有限群論やら表現論やらの本を買い込んでは放置してあるのだが，その中で Alperin ＆ Bell 『Groups and Representations 』 Springer 1995 というのを最近読み始めている．その中でしょっぱなの第一章の章末問題に面白いのがあったので紹介したい． 問題 ，， を1より大きい任意の3つの整数とする． このとき有限群とその元,が存在して，，の位数が各々， ，となっているものが存在することを示せ． 勝手な3つの整数でこのような有限群とその元が存在するというのが面白い．有限群というところがミソでこれが無ければ，[tex:G=\]が答えの一つなので面白みがない． たとえば としておくと、どんな大きなを取ってきても
『リーマン面』の概念の理解に苦戦しています。リーマン面をわかり易く御教授願います。 - 多価関数を1価関数のように扱うために複素平... - Yahoo!知恵袋
多価関数を1価関数のように扱うために 複素平面を沢山用意して切り貼りしているだけです。 例えば正の実数xに対して平方根は±√xの2つあります。 平方根を取るという操作は2価ですが、√xは正の方を表すという定義があり √xというものを1価関数として扱えるようにしているわけです。 ±√xの2価を同時に扱わなければならないとしたら大変ですが √xと-√xは別々の1価関数として扱うことによって話を簡単にしています。 √xを定義する区間I_1= [0,∞) -√xを定義する区間I_2 = [0,∞) を別のもの(分枝)と考えてx=0のところでつなげたもの というのがリーマン面のアイデアです。 x=0の所を通るともう一方の区間に行けます。 このようにして2つに分ければ1価関数として扱えますねという事です。 いま考えているのがI_1の方なのか、I_2の方なのかはっきりさせていれば 平方根といったときにも
多価関数とリーマン面 （ ｎ乗根、対数、指数 ）
サイトのTOP→理系インデックス 複素解析のTOP→複素解析インデックス 定義 （ １価関数、多価関数 ） １つの複素数 ｚ に対して１個の関数が存在するとき、このような複素関数を 『 １価関数 』 という。 １つの複素数 ｚ に対して複数個の関数が存在するとき、このような複素関数を 『 多価関数 』 という。 無限個の関数が存在するとき、これを無限多価関数という。 具体例は以下で見ていくことになる。 定義 （ 反転 ） ｗ＝ｆ（ｚ）＝１/ｚ について考える。このとき、ｗ＝１/ｚ を 『 反転 』 という。 ｚ 平面と ｗ 平面の各領域の対応関係を図示すると、 補足 ｗ＝１/ｚ が上図で色分けされたように対応することを示そう。 ｚ と ｗ を極形式で次のように表す。 すると、 よって、Ｒ＝１/ｒ 、ψ＝－θであるから、 これは図の色分けで示された通りである。 定義 （ リーマン球面 ） 上
特異点のなかでも本気で可笑しな真性特異点 - 完全無欠で荒唐無稽な夢
見当違いな使命感から、複素関数における特異点の事例を視覚化してみます。 Ｅｘｐ（１／ｚ）の名だたる特異点はｚ＝０です。 ローラン展開すればわかるように、 この級数から、ｚ→０にて無際限にｚが発散しまくるのは、なんとはなしに理解できましょう。 これを「真性特異点」と称します。数学愛好家にとっては神聖で神秘なトポスであります。 実際、Ｅｘｐ（１／ｚ）の絶対値がどうなるのかは、下図です。|z|<１です。 関数の絶対値が、ｚ→０にて無限にでかくなるのはいいとして、真性の真性たるわけは偏角を見える化すると理解が行き届くでしょう。 絶対値の図とは異なる特性が出てきていますね。 もっとｚ＝０近傍を拡大してみます。 関数値の偏角は大きな袋とじが何重にも合わさって、原点を包み込んでいるようです。 偏角が多値化しているということは、同じ絶対値で複数の関数値が何度か重複発生していることを示唆します。 これがピカ
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5 z 1 1u = 0 u(x; y) 1827 A.L. Cauchy (1789-1857) 1814 1700 1850 150 75 76 5 5.1 (a) . (b) . 1 5.1 z t z = z(t) 1 a � t � b z(a) z(b) z(a) = z(b) t1 6= t2 z(t1) 6= z(t2) Jordan z(a) = z(b) z 2 D D 1 E.T. 5.2 77 5.2 C 1. ( 5.1) 5.2 5.2.1 D f(z) C C C z0 z C z0 z z1; z2, 111 , zN01 1 = fz0; z1; z2; 111; zN01; zN = zg (5.1) 1 zj01 zj �j S1 = N X j=1 f(�j)(zj 0zj01) (5.2) 5.2) 30 : 1 zjzj01 f(z) S1 78
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6 2 2 z 9 105 106 6 6.1 : 40 I = Z 2� 0 d� 5 04 cos � : (6.1) z = ei� cos � = 1 2 (z + 1 z);dz = iei�d� = izd� � 0 2� z jzj = 1 1 I I = I jzj=1 dz iz 1 5 02(z + 1 z) = i I jzj=1 dz 1 2z2 05z + 2 = i 2 I jzj=1 dz 1 (z 0 1 2 )(z 02) : 1 z = 1=2 I = i 2 12�iRes � 1 2 � = 0� lim z!1=2 (z 0 1 2 ) 1 1 (z 0 1 2 )(z 02) = 2� 3 : (6.2) 41 I = 1 2 I jzj=2 jdzj jz 01j2 : (6.3) z = 2ei� dz = 2iei�d�;jdzj = 2d
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8 1 1 f (x) x ! z f (x) 1 9 3 8.1 37 D f (z) D a D fzkg f (zk) = 0 (8.1) D f (z) = 0 141 142 8 8.1 jz 0aj < R a b . ) f (z) D a R jz 0aj < R f (z) = c0 + c1(z 0a) + c2(z 0a) 2 + 111 (8.2) f (z) z = a c0 = f (a) = lim k!1 f (zk) = 0: (8.3) f1(z) = f (z) z 0a = c1 + c2(z 0a) + c3(z 0a) 2 + 111 (8.4) f1(z) f1(zk) = f (zk)=(zk 0 a) = 0 c1 = f1(a) = lim k!1 f1(zk) = 0: (8.5) c0 = c1 = c2 = 111 = 0 (8.6
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9 5.4.3 19 149 150 9 1 9.1 9.1.1 z 0(z) = Z 1 0 e0t tz01dt (9.1) 0 2 z z = x > 0 0(x + 1) = Z 1 0 e0t tx dt = 0e0t tx 1 t=0 +x Z 1 0 e0t tx01dt = x0(x) (9.2) x 0 n 0(1) = Z 1 0 e0t dt = 1 (9.3) 0(n + 1) = Z 1 0 e0t tn dt = n! (9.4) 0! = 1 z 0 < " � Rez � M < 1 0 < t � 1 je0t tz01j � e0t t"01 (9.5) 1 � t < 1 je0t tz01j � e0t tM01 (9.6) Z 1 0 e0t t"01dt; Z 1 1 e0t tM01dt Z 1 0 e0t tz01dt (9.7) 1 ( 9
数 学 特 論1 — 楕円関数入門 — 2012 Fall Semester N. Yamada Version:2012.11.12 目次 Chapter 0. Preliminalies (1–3) 曲線、弧長、線素 Chapter 1. 楕円の弧長 (4–16) 楕円の弧長、楕円積分、正弦曲線、レムニス�
数 学 特 論1 — 楕円関数入門 — 2012 Fall Semester N. Yamada Version:2012.11.12 目次 Chapter 0. Preliminalies (1–3) 曲線、弧長、線素 Chapter 1. 楕円の弧長 (4–16) 楕円の弧長、楕円積分、正弦曲線、レムニスケートの弧長 Chapter 2. 楕円積分 (17–29) 楕円積分、円環のポテンシャル、非線形バネ、単振り子 Chapter 3. ヤコビの楕円関数 (30–49) ヤコビの楕円関数、楕円関数の微分、楕円の性質 Chapter 4. なわとびのひも (50–63) 楕円関数の弧長、等速円運動、なわとびのロープ、変分原理 Chapter 5. 加法定理 (64–69) 加法定理、別の表現 Chapter 6. 複素変数への拡張 (70–81) 純虚数への拡張、複素数への拡張、
MyPhysicsLab - Physics Simulation with Java
Click on one of the physics simulations below... you'll see them animating in real time, and be able to interact with them by dragging objects or changing parameters like gravity. Customize and Share There are several ways to reproduce a particular experimental setup. The easiest way is to click the "share" button. Modify the simulation by changing parameters such as gravity, damping, and by dragg
The Vega Science Trust - Richard Feynman - Science Videos
Chosen by the New Scientist - best on-line videos 2007. A set of four priceless archival science video recordings from the University of Auckland (New Zealand) of the outstanding Nobel prize-winning physicist Richard Feynman - arguably the greatest science lecturer ever. Although the recording is of modest technical quality the exceptional personal style and unique delivery shine through.
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What's Special About This Number?
If you know a distinctive fact about a number not listed here, please e-mail me. primes graphs digits sums of powers bases combinatorics powers/polygonal Fibonacci geometry repdigits algebra perfect/amicable pandigital matrices divisors games/puzzles 0 is the additive identity. 1 is the multiplicative identity. 2 is the only even prime. 3 is the number of spatial dimensions we live in. 4 is the sm
What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic
What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic Note – This appendix is an edited reprint of the paper What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, by David Goldberg, published in the March, 1991 issue of Computing Surveys. Copyright 1991, Association for Computing Machinery, Inc., reprinted by permission. Abstract Floating-point arithmetic i
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英語論文の査読表現集
＜自分自身の英語論文査読技術向上のために・・・＞ 巷には英語科学論文の書き方なるものがあふれかえっております。また、英文手紙の書き方や英文eメールのhow-to本が出ているのは非常に心強いものです。ある程度決まり切った表現を使い回せば何とかなる論文作成に比べ、研究者個人の英語力がまともに出てしまうのが査読ではないかと思います。私はこれまで、辞書などにない（見つかりにくい）英語表現を自分でまとめ、電子辞書用の個人辞書として活用してきましたが、こと査読表現については、色々と苦戦し、言いたいことが書けず、投稿者にもエディターにも迷惑をかけてきました。そこで、1つは自分が今後査読をする際の参考にするため、もう１つは同じ悩みを抱えている研究者のために、ささやかではありますが、ここ10年くらいの間に自分が受けた査読結果を中心に、英語論文を査読するときに役に立つ表現集を作ることにしました。自分のアホさ加
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Controlled formation and reflection of a bright solitary matter-wave - Nature Communications
Complementarity of quantum discord and classically accessible information - Scientific Reports
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平成21年7月21日
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ブライアン・グリーンが語るひも理論
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微分積分
コーシーの主値(主値積分) - TOSHIの宇宙
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マーニンの量子化されたテータ関数 [5]との関係
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LHC での超対称性の物理 （京大 野尻）
超弦理論(3)(双対模型から超弦理論へ) - TOSHIの宇宙
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楕円関数入門
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リーマン面とは サイエンスの人気・最新記事を集めました - はてな
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2012年度・夏期数学科リレー講座・5日目 “リーマン面登場す
楕円関数 (Hurwitz-Courant による) 小 林 治 2011/4/1 作成 2011/4/13 改訂 目次 1 楕円関数の定義と Liouville の定理 2 2 Weierstrass の ℘ 関数 2 3 ℘ 関数の微分方程式 3 4 ℘ 関数の加法定理 4 5 楕円
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