フビニの定理，トネリの定理，フビニ-トネリの定理のまとめ
関数$f$によっては 重積分$\dint_{\R^m\times\R^n}f(x,y)\,d(x,y)$ 逐次積分$\dint_{\R^m}\bra{\dint_{\R^n}f(x,y)\,dy}\,dx$ が一致しないことがあります． そこで，これら重積分と逐次積分が一致するための条件があれば嬉しいわけですが，ルベーグ積分においてこの十分条件を述べた定理としてフビニ（Fubini）の定理・トネリ（Tonelli）の定理があります． また，フビニの定理とトネリの定理を組み合わせたフビニ-トネリの定理と呼ばれる定理もあります． また，フビニの定理・トネリの定理・フビニ-トネリの定理を総称して「フビニの定理」と呼ぶことも多く，これらは解析学において非常に重要な定理です． この記事では，フビニの定理・トネリの定理・フビニ-トネリの定理を概説します． これらの定理は$\R^m$と$\R^n$より一
バナッハ空間とヒルベルト空間｜完備でない部分空間の例
ノルムが備わっている線形空間をノルム空間，内積が備わっている線形空間を内積空間といいます． ノルム空間，内積空間は元の大きさを測ることができる線形空間ということができ，解析学では頻繁に用いられます． また，完備なノルム空間をBanach(バナッハ)空間，完備な内積空間をHilbert(ヒルベルト)空間といいます． Banach空間/Hilbert空間はもとより線形空間なので線形空間としての部分空間を考えることができ，部分空間に元の空間と同じノルム/内積を与えたものはノルム空間/内積空間となります． しかし，このノルム/内積を備えた部分空間が完備性をもつとは限りません．つまり Banach空間$V$の部分空間が，$V$と同じノルムでBanach空間になるとは限らない Hilbert空間$V$の部分空間が，$V$と同じ内積でHilbert空間になるとは限らない というわけですね． 本稿では，B
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