群論 - Wikipedia
群論（ぐんろん、英語: group theory）とは、群を研究する学問。 群の概念は抽象代数学における中心的な概念。 環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。 群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。 線形代数群とリー群の理論は群論の一分野。 特に発展を遂げており、独自の適用範囲を持っている。 結晶や、水素原子などの構造の多くは、点群で表現できる。このように、群論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。 1960年代～80年代に発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類が達成された。これは多くの数学者の共同作業の賜物であり、20世紀後半の数学において最も重要な業績の一つである。 研究史[編集] 群論は、歴史的に3つの源泉がある。数論、代数方程式論、幾何学である。数論の系統は、オイラーに始まり、ガウスの合同式の理
冪根 - Wikipedia
冪根[注 1]（べきこん）、または累乗根（るいじょうこん）とは、冪乗（累乗）を取る操作とは逆の操作で、冪乗すると与えられた数になる数のことである。数 x の冪根はしばしば と書き表される。冪根 は以下の関係を満たす。 つまり、冪根 の n乗は x に等しく、この意味で を x の n乗根 (nth root of x) と呼ぶ。 n は指数 (index) と呼ばれ、記号 は根号 (radical sign, radix) と呼ばれる。また、根号の中に書かれた数 x は時に被開平数 (radicand) と呼ばれる。 根号を用いて冪根を表す場合、それは非負の値を持つ一価関数として扱われる。このような冪根を主要根 (principal root) と呼び、特に 2乗根の主要根を主平方根 (principal square root) と呼ぶ。 数 x の主要根 は指数関数と結び付けられ、 と
代数的構造 - Wikipedia
二つの演算によって決まる代数的構造 環: 加法に関してアーベル群であり、乗法に関して半群（またはモノイド）であり、分配法則を満たす。 体: 0 でない元が乗法に関して群（またはアーベル群）をなす環 演算と作用によって決まる構造 環上の加群: 環の作用するアーベル群 ベクトル空間: 体上の加群 算法や二項演算の項に記す通り、加群やベクトル空間などにいて環や体が与える外部的な作用も適当な方法で内部的な 1 項算法（単項算法）と捉えなおすことができるので、加群やベクトル空間やほかにも同様に作用域を持つ構造である多元環などが、群や環と同様のもの（多くの演算によって決まる構造）として統一的に論ずることもできる。 さらに複雑なもの 代数（多元環）: 乗法の定義された加群やベクトル空間 結合代数: 乗法が結合法則を満たす代数 可換代数: 乗法が可換な結合代数 束: 二つの演算が定義されている集合で、演算
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体 (数学) - Wikipedia
数学において、体（たい）とは、四則演算が（零で割ることを除いて）自由に行える代数系のことである。体の定義においては、積が可換か非可換かに必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。前者については可換体の項を、後者については斜体の項を参照されたい。 定義をきちんと述べれば、 「体とは、単位的環であって、その非零元の全体が乗法に関して群を成すものを言う」 あるいは 「体とは、非自明な単位的環であって、任意の非零元が乗法逆元を持つものを言う」 となる。 この代数的構造はリヒャルト・デーデキントとレオポルト・クロネッカーにより独立に（また極めて異なる方法で）導入されたが、ドイツ語で体を意味する Körper は、実数または複素数からなる集合で四則演算に関して閉じているものを当初は指していた。体をしばしば文字 K で表すのはこのドイツ語名による。体という言葉は「ある種
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環 (数学) - Wikipedia
a × (b + c) = (a × b) + (a × c), および (a + b)× c = a × c + b × c 乗法が可換律を満たすから、整数の全体は可換環である。 厳密な定義[編集] 環とは、集合 R とその上の二つの二項演算、加法 +: R × R → R および乗法 ∗: R × R → R の組 (R,+,∗) で、「環の公理系」と呼ばれる以下の条件を満たすものを言う[3]（環の公理系にはいくつか異なる流儀があるが、それについては後で触れる）。 加法群：(R, +) はアーベル群である 加法に関して閉じている：任意の a, b ∈ R に対して a + b ∈ R が成り立つ[注 2]。 加法の結合性：任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b) + c = a + (b + c) が成り立つ。 加法単位元（零元）の存在：如何なる a ∈ R に対しても
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