ストーン双対性 - Wikipedia
ストーンの双対性定理（ストーンのそうついせいていり）とは数学における定理で、（非常に弱いある種の制限を満たす）位相空間がある種の性質を満たす束と自然に対応づけられる事を意味し、この対応づけをストーン双対性(Stone duality)という。位相空間論は点集合論に基づいて通常定式化されるが、ストーン双対性により位相空間は束と対応づけられるので、この双対性は点集合論の代わりに束論に基いて位相空間論を定式化（ポイントレス位相空間論（pointless topology））できる事を意味する。この為本稿ではポイントレス位相空間論についても述べる。ストーンの双対性定理はストーンの表現定理の一般化でもある。 概要[編集] 位相空間X 上の開集合全体の集合をΩ(X )とすると、Ω(X )は包含関係に関して半順序集合をなす。 しかもΩ(X )は和集合と共通部分について閉じているのでΩ(X )は束であり、
位相空間の次元論
多様体はアプリオリに次元が与えられる事が多いが，実はその次元は位相空間としての情報から復元できる．つまり，次元を指定せずにn次元多様体が与えられたとき，その多様体が「n次元」である事を位相的な性質から知ることが出来るのである．こういった位相的性質から次元概念を考える分野が次元論だ． 次元論はもう古い数学である．実は和書にも森田紀一先生の「次元論」という教科書があるが，なんと1950年の本だ．もう骨董品といっても差し支えないだろう．恐らく分野としての全盛は20世紀初頭だろう．どうやら，当時は19世紀末の集合論の発展に伴い様々な「直観に反する」例が構成されたことにより，数学の基礎を見直す活動が盛んだったようだ．そのため，今までは「当然の事」と思っていた「はn次元」という直観を「定式化」しようという流れがあったようだ．しかし，その後登場したより多くの情報を引き出せるホモロジー論に完全に押しやられ
順序集合 - Wikipedia
この記事には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。 出典は脚注などを用いて記述と関連付けてください。（2019年6月） 独自研究が含まれているおそれがあります。（2019年6月） 順序集合（じゅんじょしゅうごう、英: ordered set）は集合の要素の間に順序が定義された集合。順序とは二項関係であって後述する反射律・推移律などを満たすものであり、数の大小関係などを一般化したものである。 全ての2要素が比較可能（順序が定義されている）ものを特に全順序集合（totally ordered set; toset）という。例えば実数における大小関係は全順序集合である。 また、全順序ではない順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を定めたものや、（2つ以上元を含む）集合の冪集合において、包含関係を順序と見なしたものがある。 後述するように、順序が満たす
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