Swiftで代数学入門 〜 6. 多項式は整数によく似てる - Qiita
どうも、佐野です。いよいよシリーズのゴール「代数拡大の実装」に向けて準備が整ってきました。今回は多項式環 $K[x]$ を作り、整数環 $\mathbb{Z}$ とのアナロジーで剰余環が作れることを見ていきます。 目次： 数とは何か？ 群・環・体の定義 有理数を作ってみよう 時計の世界の「環」 小さな「体」を作ろう 多項式は整数によく似てる ← イマココ 代数拡大で数を作ろう！ 多項式の型を作る シリーズ初回「数とは何か？ 」で複素数体 $\mathbb{C}$ は「代数方程式が必ず解を持つ数体」として導入しました。代数方程式とは「多項式 $= 0$」の形でかける方程式のことで、多項式 (Polynomial) とは： という式のことです。中学では$2$次式を習い、そのグラフが放物線となることを見たと思います。 多項式を決めるのは次数(degree) $n$ と $n + 1$ 個の係数の
Swiftで代数学入門 〜 1. 数とは何か？ - Qiita
struct f : TPPolynominal { // f(x) = x^2 - 2 in Q[x] static let value = Polynominal<Q>(-2, 0, 1) } typealias K = FieldExtension<f> // K = Q[x]/(x^2 - 2) let a = K(0, 1) // x mod (x^2 - 2) a * a // 2 mod (x^2 - 2) a * a == 2 // true! これが何のことか分からなくても、最後の1行を見てください… a * a == 2 となっています！ a は自乗して 2 になる数なんだから、これは $\sqrt{2}$ そのものです。同じように虚数単位 $i$ や $1$ の原始 $n$ 乗根 $\zeta_n$ も、近似ではない「その数そのもの」をプログラムで実現できてしまうので
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